Resumen de Matrices combinadas de algunos tipos de matrices
Máximo Santana
El producto de Hadamard o producto elemento a elemento de dos matrices ha sido estudiado por diversos autores con diferentes objetivos. En particular, el producto de Hadamard de una matriz y la traspuesta de su inversa ha demostrado su utilidad en múltiples áreas, como por ejemplo, en el estudio de procesos químicos. Este producto se denomina matriz combinada y se denota por C(A). La matriz combinada tiene además diversas aplicaciones en el ámbito del álgebra lineal. A partir de la matriz combinada se obtiene, por ejemplo, una interesante relación entre los valores propios y los elementos diagonales de una matriz diagonalizable. Además, dado que la suma de cada fila y de cada columna de una matriz combinada es exactamente igual a 1, en aquellos casos en que la matriz combinada sea no negativa, C(A) será una matriz doblemente estocástica. El estudio de propiedades de C(A) sigue siendo de actualidad y muchos resultados han sido publicados recientemente. Al igual que el estudio de matrices no negativas ha demostrado su utilidad desde tiempo atrás, otras condiciones de positividad, englobando en este concepto todos los campos que hacen referencia al signo de elementos o menores de una matriz, se han venido introduciendo en la literatura y han venido demostrando su interés. Dentro de la positividad podemos incluir, además del signo de los elementos de la matriz (matrices no negativas y Z-matrices), el signo de las entradas de la matriz inversa (M-matrices), el patrón de ceros de la matriz (matrices triangulares y matrices diagonales) y el signo de los determinantes de submatrices (P-matrices, matrices totalmente positivas, matrices totalmente no negativas). Más recientemente se han definido también las matrices signo-regulares, es decir, aquellas matrices para las que todos los menores del mismo orden tienen un signo determinado. En diversos trabajos se ha analizado también qué tipo de propiedades de positividad puede heredar la matriz combinada. Por ejemplo, ya es conocido que la matriz combinada de una M-matriz es también una M-matriz. En esta memoria se recogen y amplían los resultados referentes a la matriz combinada de algunas clases de matrices relacionadas con la positividad. Para ello se ha consultado una larga relación de trabajos relacionados y se ha realizado un resumen de los resultados más relevantes antes de incluir los nuevos resultados. Se plantea también el interés de algunas cuestiones abiertas. La memoria se estructura de la siguiente manera. En el primer capítulo se definen los conceptos y se enuncian y/o demuestran los resultados de ámbito general que van a ser utilizados en el resto de la memoria. En los tres restantes capítulos se plantea el tipo de problema a resolver, se enuncian y demuestran los resultados obtenidos y se resume su interés a modo de conclusiones. En el Capítulo 2 se determina si la matriz combinada de clásicas clases de matrices puede ser o no doblemente estocástica. Se estudia la matriz combinada de estas clases y se concluye que se obtiene la no negatividad de la matriz combinada para algunas G-matrices, algunas H-matrices y algunas matrices 2 x 2; nunca se da para matrices totalmente positivas o totalmente negativas; y sólo se obtiene C(A) mayor o igual a cero cuando C(A) = I en el caso de que A sea totalmente no negativa o M-matriz. Por último, sólo las matrices anti-triangulares totalmente no positivas de tamaño 2 x 2 tienen matriz combinada no negativa. En el Capítulo 3 se extiende el estudio anterior a matrices signo-regulares. Se analiza el signo de los elementos de la matriz combinada a partir de la signatura de la matriz y de la signatura de una matriz relacionada con la traspuesta de su inversa y se obtiene una lista con todos los casos posibles. Esta lista muestra casos en los que C(A) nunca es no negativa y otros en los que C(A) es no negativa cuando es una matriz diagonal o anti-diagonal, esto es, sólo cuando C(A) coincide con la matriz identidad I o con la anti-identidad J. Así mismo, se deduce que el signo de los elementos de C(A) viene determinado únicamente por las dos primeras y las tres últimas componentes del vector de signatura de A. En el Capítulo 4 se busca determinar relaciones entre los elementos diagonales de la matriz combinada de una matriz totalmente negativa y con ello caracterizar cuándo cierto vector puede coincidir con la diagonal de C(A). Así, se obtienen relaciones entre los dos primeros y dos últimos elementos de la diagonal de C(A). También se caracteriza la diagonal de la matriz combinada de una matriz totalmente negativa de dimensión 3 x 3, tanto para el caso simétrico como no simétrico. Finalmente, se incluye un capítulo donde se resumen los logros alcanzados y un pequeño listado de las posibles líneas futuras de trabajo sobre aspectos que el autor de esta memoria querría continuar estudiando en vista a unos nuevos objetivos.
