Teorema de Malus-Dupin: geometría euclídea vs geometría simpléctica

• Benítez García, Carla ^[1]
  1. [1] Universidad de La Laguna

     Universidad de La Laguna

     San Cristóbal de La Laguna, España

     
• Localización: TEMat: Divulgación de trabajos de estudiantes de matemáticas, ISSN-e 2530-9633, Nº. 8, 2024, págs. 17-30
• Idioma: español
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• Resumen
  • español

    El resultado fundamental de este artículo es el teorema de Malus-Dupin. Según este teorema, una familia de rayos biparamétrica rectangular sigue siendo rectangular después de un número arbitrario de reflexiones o refracciones a través de superficies diferenciables. Antes de iniciar la demostración de este resultado mostraremos que el espacio de rayos de ℝ3 tiene una estructura de variedad diferenciable de dimensión 4, difeomorfa al fibrado cotangente de una esfera de radio 1. Posteriormente, presentaremos la demostración original del teorema realizada por Hamilton, tanto para los fenómenos de reflexión como de refracción. En la última parte del trabajo, usando la estructura simpléctica del espacio de rayos de luz (heredada de aquella existente en el fibrado cotangente de la esfera), daremos una prueba moderna diferente del teorema de Malus-Dupin. Las dos ideas claves para probar este resultado son la interpretación de rectangularidad en términos de subvariedades lagrangianas y el hecho de que las reflexiones y refracciones son simplectomorfismos.

  • English

    The main result of this paper is the Malus-Dupin theorem. According to this theorem, a rectangular biparametric family of rays remains rectangular after an arbitrary number of reflections or refractions through smooth surfaces. In order to prove this result, we will start by seeing that the ray space of ℝ3 is a smooth manifold of dimension 4, diffeomorphic to the cotangent bundle of asphere of radius 1. Then, we will present Hamilton’s original proof of the theorem for both reflection and refraction phenomena. In the last part of the work, using the symplectic structure on the ray space (which is inherited from the existing one in the cotangent bundle of the sphere), we will give a different modern proof of the Malus-Dupin theorem. The two key ideas to prove this result are the interpretation of rectangularity in terms of Lagrangian submanifolds and the fact that reflections and refractions are symplectomorphisms.