“Formación de singularidades en fluidos incompresibles: el problema de Muskat”

• Francisco Gancedo García ^[1]
  1. [1] Universidad de Sevilla

     Universidad de Sevilla

     Sevilla, España

     
• Localización: Memorias de la Real Academia Sevillana de Ciencias, ISSN 2530-1829, Nº. 16, 2013, págs. 259-273
• Idioma: español
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• Resumen
  • español

    Una de las líneas de investigación más importantes en el análisis matemático de modelos en PDEs de mecánica de fluidos incompresibles se centra en estudiar problemas que involucran la posible formación y propagación de singularidades. En estos escenarios es crucial entender el papel que la singularidad desempeña en la dinámica del fluido. Con este propósito, varios modelos físicos han sido ampliamente estudiados por su interés dentro de las Matemáticas así como por sus aplicaciones.

    En el análisis de la mecánica de fluidos, la modelización de la evolución de fluidos con características diferentes forma parte de los problemas más destacados. La dinámica tiene lugar en la interfase entre los fluidos que evolucionan con el flujo. Estos problemas de dinámica de contorno están descritos por leyes fundamentales de la mecánica de fluidos, tales como las ecuaciones de Euler, Navier-Stokes, la ley de Darcy y ecuaciones Quasi-geostróficas. Estos dan lugar a problemas tales como la evolución de hojas de vorticidad, olas de agua, ondas viscosas, el problema de Muskat, bifase Hele-Shaw y la evolución de frentes de temperatura. Las cuestiones fundamentales a resolver son la posible formación de singularidades o la existencia de solución para todo tiempo en el caso en que el problema está bien propuesto.

    Las nuevas técnicas que mostramos en este artículo han dado lugar a la primera prueba analítica de formación de singularidades en un modelo incompresible bien propuesto: el problema de Muskat. El principal objetivo será introducir este problema y mostrar algunos ingredientes de las pruebas de estos resultados.

  • English

    One of the most important line of research in the mathematical analysis of incompressible fluid mechanics models in PDEs is focused on solving problems which involve the possible formation and propagation of singularities. In these scenarios it becomes crucial to understand the role played by the singularities in the dynamics of the fluid. For this purpose, different physical models have been highly studied for their mathematical interest as well as for their applications.

    In the analysis of fluid mechanics, an outstanding class of problems are those in which the evolution of fluids with different characteristics are modeled. The motion takes place on the interface between fluids that evolves with the flow. These contour dynamics issues are governed by fundamental fluid mechanics equations such as the Euler, Navier-Stokes, Darcy and quasi-geostrophic systems. They model important problems such as vortex-sheet, water waves, viscous waves, Muskat, interface Hele-Shaw and SQG sharp front evolution. The main concern is well-posed scenarios which include the possible formation of singularities in finite time or existence of solutions for all time.

    The new techniques we show in this article have already enabled the first analytic proof of singularity formation for an incompressible well-posed model: the Muskat problem. The main goal here is to introduce this problem and show some ingredients in the proof of these results.