Estabilidad en sistemas cuadráticos del tipo Kolmogorov describiendo interacciones entre dos especies. Una breve revisión

• González-Olivares, Eduardo ^[1] ; Rojas-Palma, Alejandro ^[2]
  1. [1] Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

     Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

     Valparaíso, Chile

     
  2. [2] Universidad Católica del Maule

     Universidad Católica del Maule

     Provincia de Talca, Chile

     
• Localización: Selecciones Matemáticas, ISSN-e 2411-1783, Vol. 8, Nº. 1, 2021 (Ejemplar dedicado a: Enero-Julio), págs. 131-146
• Idioma: español
• DOI: 10.17268/sel.mat.2021.01.13
• Títulos paralelos:
  • Stability in Kolmogorov-type quadratic systems describing interactions among two species. A brief revision
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• Resumen
  • español

    La dinámica de poblaciones es un tema relevante en Biomatemática, siendo el estudio del comportamiento a largo plazo de los modelos de interacción entre especies, uno de sus problemas centrales. Gran parte de estas relaciones son descritas por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), teniendo como objetivos principales el estudio de la estabilidad de las soluciones.

    En este documento describimos principalmente el comportamiento dinámico del modelo de depredación de Volterra. Además, hacemos una revisión de algunos modelos de depredación derivados y una breve reseña de las propiedades dinámicas de modelos describiendo otras interacciones entre especies tales como: competencia, mutualismo, amensalismo y comensalismo, también descritos por sistemas EDO no lineales del tipo Kolmogorov de segundo orden.

    El principal resultado obtenido para cada uno de estos modelos es la no existencia de ciclos límites; sin embargo, en uno de ellos existen condiciones en los parámetros para los cuales el único punto de equilibrio positivo es un centro, como sucede en el modelo original de Lotka-Volterra.

    La metodología empleada en este trabajo es la usual para el análisis de modelos con puntos de equilibrio hiperbólicos, pero puede orientar el análisis de otros modelos más complicados.

  • English

    Population dynamics is a relevant topic in Biomathematics, being the study of the long-term behavior of interaction models between species, one of its central problems. A large part of these relationships are described by ordinary differential equations (ODE), having as main objectives the study of the stability of their solutions.

    In this document we mainly describe the dynamic behavior of the Volterra predation model. In addition, we make a review of some derived predation models and a brief review of the dynamical properties of models describing other interactions between species such as: competition, mutualism, amensalism, and commensalism; also described by nonlinear ODE systems of the second order of Kolmogorov-type.

    For each of these models, the non-existence of limit cycles can be demonstrated and in most of  them, there is a globally stable equilibrium point. In one of them, there are  conditions in the parameters for which the only positive equilibrium point is a center, as in the original Lotka-Volterra model.  The methodology used is the usual one for the analysis of models with hyperbolic equilibrium points, but it can guide the analysis of other more complicated models.

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