Resumen de Clasificación de álgebras de División Reales

Wilber Carrillo Flores, Alberto Mariano Rivero Zapata

• español

  Este artículo pretende ofrecer un enfoque unificador para la teoría básica de las álgebras de división presentando la investigación del matemático alemán-estadounidense Max August Zorn, quien clásico las álgebras de división alternativas. En la sección 1 se desarrolla la teoría básica de las álgebras de división reales. En la sección 2 se presenta el Proceso de Cayley-Dickson, que consiste en construir una álgebra extensión a partir de una álgebra provista de una conjugación, similar a la construcción de los números complejos a partir de los números reales. En la sección 3 se presentan las álgebras de división clásicas R (reales), C (complejos), H (cuaterniones) y O (octoniones) y se mencionan algunas de sus aplicaciones. En la sección 4 se presenta el teorema principal, que establece que las únicas (salvo isomorfismo) álgebras de división alternativas son: R, C, H y O (teorema de Zorn). Los teoremas de clasificación de las ´algebras de división asociativas (Frobenius) y de las ´algebras de división normadas (Hurwitz) se obtienen como corolarios del teorema de Zorn. Finalmente en la sección 5 se mencionan aplicaciones de las ´algebras de división a la Geometría, Teoría de Números, Física Clásica, Física Moderna, Mecánica Cuántica y Criptografía.

   

• English

  This article aims to offer a unifying approach to the basic theory of division algebras by presenting the research of the German-American mathematician Max August Zorn, who classified alternative division algebras. In section 1 the basic theory of real division algebras is developed. Section 2 presents the Cayley-Dickson Process, which consists of constructing an extension algebra from an algebra provided with a conjugation, similar to the construction of complex numbers from real numbers. In Section 3 presents the classical division algebras R (real), C (complex), H (quaternions) and O (octonions) and mentions some of their applications. In section 4 the main theorem is presented, which establishes that the only (except isomorphism) alternative division algebras are: R, C, H and O (Zorn’s theorem). The classification theorems of associative division algebras (Frobenius) and normed division algebras (Hurwitz) are obtained as corollaries of Zorn’s theorem. Finally in section 5 applications of division algebras to Geometry, Number Theory, Classical Physics, Modern Physics, Quantum Mechanics and Cryptography are mentioned.