The Golod–Shafarevich inequality and the class field tower problem

• Vilà Casadevall, Jordi ^[1]
  1. [1] École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)
• Localización: Reports@SCM: an electronic journal of the Societat Catalana de Matemàtiques, ISSN-e 2385-4227, Vol. 8, Nº. 1, 2023, págs. 1-10
• Idioma: inglés
• DOI: 10.2436/20.2002.02.33
• Enlaces
  • Texto completo
• Resumen
  • català

    En aquest article presentem una demostració del problema de la torre de cossos de classes. Comencem introduint els grups pro-p, expliquem com descriure’ls en termes de generadors i relacions, i presentem la desigualtat de Golod–Shafarevich, la qual estableix un criteri perquè un grup pro-p sigui infinit. Després d’introduir algunes nocions de teoria algebraica de nombres, apliquem la desigualtat de Golod–Shafarevich al problema de la torre de cossos de classes. Obtenim un criteri perquè un cos de nombres tingui una torre de cossos de classes infinita, i donem exemples explícits de cossos de nombres satisfent aquest criteri.

  • English

    In this article we present a proof of the class field tower problem. We begin by introducing pro-p groups, explain how to describe them in terms of generators and relations, and present the Golod–Shafarevich inequality, which establishes a criterion for a pro-p group to be infinite. After introducing some notions from algebraic number theory, we apply the Golod–Shafarevich inequality to the class field tower problem. We obtain a criterion for a number field to have an infinite class field tower, and give explicit examples of number fields satisfying this criterion.