Hölder continuous maps on the interval with positive metric mean dimension

• Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo ^[1] ; Sergio Augusto Romaña Ibarra ^[2] ; Raibel de Jesus Arias Cantillo ^[3]
  1. [1] Universidad Tecnológica de Bolívar

     Universidad Tecnológica de Bolívar

     Colombia

     
  2. [2] Universidade Federal do Rio de Janeiro

     Universidade Federal do Rio de Janeiro

     Brasil

     
  3. [3] Universidade Federal de Maranhao

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• Localización: Revista Colombiana de Matemáticas, ISSN-e 0034-7426, Vol. 57, Nº. Extra 1, 2023, págs. 57-76
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• Títulos paralelos:
  • Funciones Hölder continuas en el intervalo con dimensión métrica media positiva
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    Fijemos un espacio métrico compacto X con dimensión topológica finita. Sea C0(X) el espacio de funciones continuas en X y Hα(X) el espacio de funciones α-Hölder continuas en X, para α ∈ (0, 1]. Sea H1(X) el espacio de funciones Lipschitz continuas en X. Tenemos la siguiente inclusión:

    H1(X) ⊂ Hβ (X) ⊂ Hα (X) ⊂ C0 (X), donde 0 < α < β < 1.

    Es bien sabido que si Φ ∈ H1 (H), entonces Φ tiene dimensión métrica media igual a cero. Por otro lado, si X es una variedad Riemanniana compacta, entonces C0 (X) contiene un subconjunto residual cuyos elementos tienen dimensión métrica media positiva. En este trabajo demostraremos que, para cualquier α ∈ (0, 1), existe Φ ∈ Hα ([0, 1]) con dimensión métrica media positiva.

  • Multiple

    Fix a compact metric space X with finite topological dimension. Let C0(X) be the space of continuous maps on X and Hα(X) the space of α-Hölder continuous maps on X, for α ∈ (0, 1]. Let H1(X) be the space of Lipschitz continuous maps on X. We have H1(X) ⊂ Hβ (X) ⊂ Hα (X) ⊂ C0 (X), where 0 < α < β < 1.

    It is well-known that if Φ ∈ H1 (H), then Φ has metric mean dimension equal to zero. On the other hand, if X is a manifold, then C0 (X) contains a residual subset whose elements have positive metric mean dimension. In this work we will prove that, for any α ∈ (0, 1), there exists Φ ∈ Hα ([0, 1]) with positive metric mean dimension.

• Referencias bibliográficas
  • J. Muentes Acevedo, Genericity of continuous maps with positive metric mean dimension, Results in Mathematics 77 (2022), no. 1, 2.
  • M. Carvalho, B. Fagner Rodrigues, and P. Varandas, Generic homeomorphisms have full metric mean dimension, Ergodic Theory and Dynamical Systems...
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