Minimum depth of factorization algebra extensions

• Alberto Hernández Alvarado ^[1]
  1. [1] Universidad de Costa Rica

     Universidad de Costa Rica

     Hospital, Costa Rica

     
• Localización: Revista Colombiana de Matemáticas, ISSN-e 0034-7426, Vol. 57, Nº. 1, 2023, págs. 87-101
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• Títulos paralelos:
  • Profundidad mínima de extensiones de álgebras de factorización
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• Resumen
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    En este artículo estudiamos la profundidad mínima de una subálgebra en el contexto de álgebras de factorización, además describimos como la profundidad de subálgebra se relaciona con la profundidad modular de la representación regular del álgebra en el anillo de representaciones correspondiente. Como consecuencia de esto, obtenemos resultados específicos para extensiones de un álgebra de Hopf en su doble de Drinfel'd. Más aún, estudiamos una condición suficiente y necesaria para la normalidad de un álgebra de Hopf en un producto doble cruzado y utilizando la condición de suficiencia producimos resultados específicos para extensiones normales de un álgebra en su doble de Drinfel'd en el caso de álgebras de grupo finito. Finalmente encontramos fórmulas para el centralizador de una Hopf subalgebra en un producto doble cruzado.

  • Multiple

    In this paper we study the minimum depth of a subalgebra embedded in a factorization algebra, and outline how subring depth, in this context, is related to module depth of the regular left module representation of the given subalgebra, within the appropriate module ring. As a consequence, we produce specific results for subring depth of a Hopf subalgebra in its Drinfel'd double. Moreover we study a necessary and sufficient condition for normality of a Hopf algebra within a double cross product context, which is equivalent to depth 2, as it is well known by a result of Kadison. Using the sufficient condition, we then prove some results regarding minimum depth 2 for Drinfel'd double Hopf subalgebra pairs, particularly in the case of finite group algebras. Finally, we provide formulas for the centralizer of a normal Hopf subalgebra in a double cross product scenario.

• Referencias bibliográficas
  • R. Boltje and B. Külshammer, On the depth 2 condition for group algebra and hopf algebra extensions, J. of Alg. 323 (2010), no. 6, 1783-1796,...
  • T. Brzezinski and R. Wisbauer, Corings and Comodules, Lecture Notes Series 309, L.M.S. Cambridge University Press, 2003, DOI 10.1017/CBO9780511546495.
  • D. Bulacu, S. Caenepeel, and B. Torrecillas, On Cross Product Hopf Algebras, J. of Alg. 377 (2013), 1-48, DOI 10.1016/j.jalgebra.2012.10.031.
  • A. Hernández, Algebraic quotient modules, coring depth and factorisation algebras, Ph.D. Dissertation, 2016, Univ. do Porto.
  • A. Hernández, L. Kadison, and S. Lopes, A Quantum subgroup depth, Acta Math. Hung. 152 (2016), 166-181, DOI 10.1007/s10474-017-0694-6.
  • A. Hernández, L. Kadison, and C.J. Young, Algebraic quotient modules and subgroup depth, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 84 (2014), 267-283,...
  • L. Kadison, Depth two and the Galois coring, Cont. Math A.M.S. 391 (2005), DOI 10.1090/2F3912F07325.
  • L. Kadison, Odd H-depth and H-separable extensions, Cent. Eur. J. Math. 10 (2010).
  • L. Kadison, Hopf subalgebras and tensor powers of generalized permutation modules, J. Pure and App. Alg. 218 (2014), no. 2, 367-380, DOI 10.1016/j.jpaa.2013.06.008.
  • L. Kadison, Algebra depth in tensor categories, Bull. Belg. Math. Soc. 23 (2016).
  • S. Majid, Physics for algebraists: Non-commutative and non-cocommutative Hopf algebras by a bicrossproduct construction, J. Algebra 130 (1990),...
  • S. Majid, Foundations of quantum group theory, Cambridge Univ. Press, 1995, DOI 10.1017/CBO9780511613104.
  • S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, AMS-CBMS, 1992, ISBN 978-0-8218-0738-5.
  • W. M. Singer, Extension theory for connected Hopf algebras, J. of Alg. 21 (1972), no. 1, 1-16, DOI 10.1016/0021-8693(72)90031-2.
  • M. Takeuchi, Matched pairs of groups and bismash produts of Hopf algebras, Comm. Alg. 9 (1981), no. 8, 841-882, DOI 10.1080/00927878108822621.