Combinatorial description around any vertex of a cubical n-manifold

• Gabriela Hinojosa ^[1] ; Rogelio Valdez ^[1]
  1. [1] Universidad Autónoma del Estado de Morelos

     Universidad Autónoma del Estado de Morelos

     México

     
• Localización: Revista Colombiana de Matemáticas, ISSN-e 0034-7426, Vol. 55, Nº. 2, 2021, págs. 125-137
• Idioma: inglés
• DOI: 10.15446/recolma.v55n2.102509
• Títulos paralelos:
  • La descripción combinatoria alrededor de cualquier vértice de una n-variedad cubulada
• Enlaces
  • Texto completo
• Resumen
  • español

    Una n-variedad cubulada N es una variedad topológica de dimensión n que está encajada en el n-esqueleto de la cubulación canónica de Rn+2. En particular, cualquier n-nudo suave Sn → Rn+2 puede ser deformado por una isotopía ambiente en un n-nudo cubulado. Una pregunta abierta es la siguiente ¿cualquier n-variedad cubulada, cerrada y orientable N en Rn+2, n > 2, es suavizable? Si la respuesta es afirmativa, entonces podremos dar una descripción discreta de cualquier n-variedad suave; en específico, podremos aplicarla para n-nudos suaves y utilizarla para definir invariantes. Una de las principales dificultades para responder la pregunta anterior radica en la comprensión de como es N en cada vértice de la cubulación canónica. En este artículo, analizamos todos los posibles comportamientos combinatorios alrededor de cualquier vértice de una variedad cubulada de dimensión n, a través del estudio de los ciclos de la gráfica completa K2n.

  • English

    We say that a topological space N is a cubical n-manifold if it is a topological manifold of dimension n contained in the n-skeleton of the canonical cubulation of Rn+2. For instance, any smooth n-knot Sn → Rn+2 can be deformed by an ambient isotopy into a cubical n-knot. An open question is the following: Is any closed, oriented, cubical n-manifold N in Rn+2, n > 2, smoothable? If the response is positive, we could give a discrete description of any smooth n-manifold; in particular, if we can stablish that for smooth n-knots, that fact can be useful to define invariants. One of the main dificulties to answer the above question lies in the understanding of how N looks at each vertex of the canonical cubulation. In this paper, we analyze all possible combinatorial behaviors around any vertex of any cubical manifold of dimension n, via the study of the cycles on the complete graph K2n.

• Referencias bibliográficas
  • M. Boege, G. Hinojosa, and A. Verjovsky, Any smooth knot Sn - Rn+2 is isotopic to a cubic knot contained in the canonical scaffolding...
  • J. P. Díaz, G. Hinojosa, R. Valdez, and A. Verjovsky, Smoothing closed gridded surfaces embedded in R4, Journal of Knot Theory and its Ramifications...
  • L. Funar, Cubulations, immersions, mappability and a problem of habegger, Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 4e série 32 (1999), 681-700. DOI: https://doi.org/10.1016/S0012-9593(01)80003-3
  • M. A. Kervaire, A Manifold which does not not admit any Differentiable Structure, Commentarii Mathematici Helvetici 34 (1960), 257-270. DOI:...
  • S. Matveev and M. Polyak, Finite-Type Invariants of Cubic Complexes, Acta Applicandae Mathematicae 75 (2003), 125-132. DOI: https://doi.org/10.1023/A:1022383927656
  • C. C. Pugh, Smoothing a topological manifold, Topology and its applications 124 (2002), 487-503. DOI: https://doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00255-3
  • R. T. Živaljević, Combinatorial groupoids, cubical complexes, and the lovász conjecture, Discrete Comput. Geom. 41 (2009), no. 1, 135-161....
  • J. H. C. Whitehead, Manifolds with transverse fields in euclidean space, Annals of Mathematics 73 (1961), no. 1, 154-212. DOI: https://doi.org/10.2307/1970286