Hirzebruch signature theorem and exotic smooth structures on the 7-sphere

• Guifré Sánchez Serra ^[1]
  1. [1] Universitat Autònoma de Barcelona

     Universitat Autònoma de Barcelona

     Barcelona, España

     
• Localización: Reports@SCM: an electronic journal of the Societat Catalana de Matemàtiques, ISSN-e 2385-4227, Vol. 6, Nº. 1, 2021, págs. 11-22
• Idioma: inglés
• Enlaces
  • Texto completo
• Resumen
  • català

    L’existència d’estructures diferencials no estàndards per a Sn no es va demostrar fins l’any 1956, quan J. Milnor va donar una construcció explícita d’una sèrie d’exemples pel cas n = 7, [4]. Fins llavors, s’assumia que no hi havia cap diferència fonamental entre esferes topològiques i esferes llises. El descobriment va suposar un punt d’inflexió en la topologia algebraica i de varietats, que continuaria amb la caracterització dels anomenats grups d’esferes homotòpiques, [2]. Un dels resultats que va fer possible la prova de Milnor va ser el teorema de la signatura de Hirzebruch, que dona una fórmula pel càlcul de la signatura d’una varietat (diferenciable) compacta i orientada. L’objectiu d’aquest treball és contextualitzar aquest teorema, així com mostrar el seu paper en la construcció de les primeres 7-esferes exòtiques.

  • English

    The existence of non-standard smooth structures on Sn was not proven until 1956, when J. Milnor presented an explicit construction for the case n = 7, [4]. Until then, it was assumed that there was no fundamental difference between topological and smooth spheres. This had profound implications in the field of manifold and algebraic topology, and was immediately endorsed by subsequent research, which lead to the characterization of the so called groups of homotopy spheres, [2]. One of the results that made Milnor’s approach possible was Hirzebruch’s signature theorem, which gives a formula to compute the signature of a (smooth) compact oriented manifold. The aim of this work is to contextualize this theorem, as well as to show its role in the construction of the first exotic 7-spheres.

• Referencias bibliográficas
  • A. Hatcher, “Vector Bundles and KTheory”, 2003. http://pi.math.cornell. edu/~hatcher.
  • M.A. Kervaire, J.W. Milnor, “Groups of homotopy spheres. I”, Ann. of Math. (2) 77 (1963), 504–537.
  • A. Kupers, “Oriented cobordism: calculation and application”, Harvard University (2017).
  • J. Milnor, “On manifolds homeomorphic to the 7-sphere”, Ann. of Math. (2) 64 (1956), 399– 405.
  • J.W. Milnor, J.D. Stasheff, “Characteristic classes”, Annals of Mathematics Studies 76, Princeton University Press, Princeton, N. J.; University...
  • G. Reeb, “Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff compl`etement int´egrable ou d’une fonction num´erique”, C. R. Acad. Sci. Paris, 222...
  • G. Tiozzo, “Differentiable structures on the 7- sphere”, University of Toronto (2009).