La sèrie harmònica

• Armengol Gasull ^[1]
  1. [1] Universitat Autònoma de Barcelona

     Universitat Autònoma de Barcelona

     Barcelona, España

     
• Localización: NouBiaix: revista de la FEEMCAT i la SCM, ISSN-e 2014-7104, ISSN 1133-4282, Nº. 39, 2016, págs. 6-31
• Idioma: catalán
• Enlaces
  • Texto completo
• Resumen
  • English

    In this work we study the properties and applications of the harmonic series and its partial sums. We will start showing different proofs of its divergence. We also will study several classical results on the convergence or divergence of some subsums, for instance those formed by the reciprocals of prime numbers, or the one given by the reciprocals of numbers that have not nines in their decimal expressions. We also present several situations where this series or its partial sums appear. In particular, we consider the so-called coupon collector’s problem, the secretary problem, the records in data series, the random walk and some questions on recreational mathematics.

  • català

    En aquest treball estudiarem les propietats i aplicacions de la sèrie harmònica i de les seves sumes parcials. Començarem veient diferents proves de la seva divergència.

    Estudiarem diversos resultats clàssics sobre la convergència o divergència de les seves subsumes, com per exemple la dels inversos dels números primers o la dels inversos dels números que no tenen cap nou entre les seves xifres. També recollirem situacions en les quals aquesta sèrie o les seves sumes parcials apareixen.

    Així, entre d’altres, considerarem el problema del col·leccionista, el de la secretària, el dels rècords en sèries de dades, un problema de control de qualitat, el passeig aleatori i algunes qüestions de matemàtica recreativa.

• Referencias bibliográficas
  • Aigner, M. i Ziegler, G. M. (1988). Proofs from The Book. Berlín: Springer.
  • Andel, J.(2001).Mathematics of Chance. JohnWiley & Sons, Inc.Wiley Series in Probability and Statistics.
  • Bagni, G. T. (2004). Prime Numbers are Infinitely Many: Four Proofs from History to Mathematics Education. Accessible a www.syllogismos.it/history/Icme10-TSG17.pdf
  • Bardina, X. (2007). Rècords: Quina és la probabilitat d’obtenir-ne? Quan apareixen? Quins valors prenen?, But. Soc. Catalana de Matemàtiques,...
  • Bardina, X. (2007). Quants rècords veurem al llarg de la nostra vida? Materials Matemàtics (MAT2), treb. 3, 14 p.
  • Bardina, X.(2008). Caminant a l’atzar tots els camins porten a Roma.MaterialsMatemàtics (MAT2), treb. 3, 29 p.
  • Berndt, B. (1998). Ramanujan’s Notebooks. Vol. 5. Nova York: Springer.
  • Brun, V. (1919). La série 1/5+1/7+1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 +...
  • Conrad, K. Pell’s equation-I,II. Accessible a www.math.uconn.edu/∼kconrad/blurbs (consultat juliol 2016).
  • Erdös, P. (1938), Über die Reihe 1/p. Mathematica, Zutphen, B 7, 1-2.
  • Feller, W. (1950). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. I. Nova York: John Wiley & Sons, Inc.
  • Ferrante, M. i Saltalamacchia, M. (2014). The Coupon Collector’s Problem. Materials Matemàtics (MAT2), treb. 2, 35 p.
  • Freniche, F. J. (2010). On Riemann’s Rearrangement Theorem for the Alternating Harmonic Series. Amer. Math. Monthly, 117, 442-448.
  • Gasull, A. (2017). Sumes harmòniques, per aparèixer a Materials Matemàtics (MAT2).
  • Graham, R. L., Knuth, D. E. i Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics. 2a ed. AddisonWesley Publishing Company, Inc.
  • Goldston, D. A. (2010). Are there infinitely many twin primes? Bay Area Math Adventure (BAMA). Accessible a www.math.sjsu.edu/∼goldston/publications.htm.
  • Hall, J. F. (2005). Fun with stacking blocks. American Journal of Physics, 73, 1107-1116.
  • Havil, J. (2003). Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Hirschhorn, M. D. (2011). Approximating Euler’s Constant. Fibonacci Quart, 49, 243-248.
  • Irwin, F. (1916). A Curious Convergent Series. Amer. Math. Monthly, 23, 149-153.
  • Itô, K. (1984). An Introduction to Probability Theory. Cambridge University Press.
  • Johnson, N. W. (1966). Convex Solids with Regular Faces. Canadian J. of Mathematics, 18, 169-200.
  • Kempner, A. J. (1914). A Curious Convergent Series. Amer. Math. Monthly, 21, 48-50.
  • Kifowit, S. J. (2006). More Proofs of Divergence of the Harmonic Series. Preprint. Accessible a: stevekifowit.com/pubs.
  • Kifowit, S. J. i Stamps, T. A. (2006). The Harmonic Series Diverges Again and Again. The AMATYC Review, 27, 31-43.
  • Kifowit, S. J. i Stamps, T. A. (2006). Serious About the Harmonic Series II, 31st Annual Conference of the Illinois Mathematics Association...
  • Lagarias, J. C. (2013). Euler’s constant: Euler’s work and modern developments. Bul. of the AMS, 50, 527-628.
  • Lenstra Jr., H. W. (2002). Solving the Pell Equation. Notices Amer. Math. Soc., 49, 182-192.
  • Mertens, F. (1874). Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. J. Reine Angew. Math., 78, 46-62.
  • Montroll, E. W. (1956). Random Walks in Multidimensional Spaces, Especially on Periodic Lattices. J. SIAM, 4, 241-260.
  • Nicely, T. R. (1994). Article sense títol sobre la falla en els divisors del Pentium. San Francisco Examiner, B-5.
  • Nicely, T. R. (1999). Enumeration to 1.6 ∗ 1015 of the twin primes and Brun’s constant. Some Results of Computational Research in Prime Numbers...
  • Paterson, M., Peres, Y., Thorup, M., Winkler, P. i Zwick, U. (2009). Maximum Overhang. Amer. Math. Monthly, 116, 763-787.
  • Pollack, P. (2015). Euler and the partial sums of the prime harmonic series. Elem. Math., 70, 13-20.
  • Ross, S. (2012). A first course in probability. 9a ed. Pearson.
  • Sanz-Solé, M. (1999). Probabilitats. Col·lecció UB, 28. Universitat de Barcelona.
  • Schmelzer, T. i Baillie, R. (2008). Summing a Curious, Slowly Convergent Series. Amer. Math. Monthly, 115, 525-540.
  • Tijms, H. (2012). Understanding probability. 3a ed. Cambridge: Cambridge University Press.
  • Villarino, M. B. (2008). Ramanujan’s harmonic number expansions into negative powers of a triangular number. J. of inequalities in pure and...
  • Young, R. M. (1991). Euler’s constant. Math. Gaz., 75, 187-190.
  • Webb, J.(2000). Inperfect harmony, +plusmagazine 2000. https://plus.maths.org/content/ perfect-harmony.
  • Diversos autors (2011). Suites & séries. Bibiliothèque Tangente HS, 41. POLE