Resumen de Gauss i el polígon de 17 costats

Agustí Reventós i Tarrida

• català

  En aquest article volem posar de manifest la importància històrica de la construcció amb regle i compàs del polígon de 17 costats, problema al qual Gauss dedicà el primer treball que va publicar. Veurem com el mateix procediment seguit en aquest cas, que consisteix a agrupar les arrels d’un polinomi de grau 17 − 1 = 16 en dos grups de vuit arrels, i aquests dos grups tornar-los a dividir en dos, iterant el procediment fins arribar a vuit grups de dos arrels cadascun, es pot generalitzar a la construcció de polígons regulars de n costats sempre que n − 1 sigui una potència de dos. A partir d’aquí es veu fàcilment que si a la descomposició en factors primers de n només apareixen potències de dos o primers de Fermat, el polígon regular de n costats es pot construir amb regle i compàs.

  El recíproc, que Gauss dóna sense demostració, és coneix avui dia com a teorema de Wantzel. En un apèndix donem una demostració d’aquest teorema on apareixen extensions de cossos i polinomis mínims, dos dels ingredients bàsics de la teoria de Galois.

• English

  In this article we highlight the historical importance of the construction of the 17-sided regular polygon, problem at which Gauss devoted the first work that he published. We’ll see how the same procedure followed in this case, which involves grouping the roots of a polynomial of degree 17 − 1 = 16 in two groups of eight roots each, and we divide again each of these groups in two groups, up to arrive to eight groups of two roots each, can be generalized to construct the n-sized regular polygon when n − 1 is a power of two. From this it is easily seen that if in the prime factor decomposition of n it appears only powers of two and Fermat prime numbers, then the regular polygon of n sides can be constructed with ruler and compas.

  The reciprocal of this theorem, given by Gauss without proof, is known today as Wantzel theorem.

  In an appendix we give a proof of this theorem using field extensions and minimal polynomials, two of the basic ingredients of Galois theory