From scalars to scales: An overview of local existence and local uniqueness theorems for the initial value problem in one variable

• Autores: Josefina Álvarez
• Localización: Lecturas matemáticas, ISSN-e 0120-1980, Vol. 42, Nº. 1, 2021, págs. 27-77
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • De escalares a escalas: un recorrido por los teoremas de existencia y unicidad local para el problema de valor inicial en una variable
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• Resumen
  • español

    En este artículo expositorio discutimos varios teoremas de existencia local y unicidad local de soluciones, para el problema de valores iniciales en una variable.

    Consideramos el caso de ecuaciones con valores reales y su extensión a R n , así como también ecuaciones con valores en un espacio de Banach, y en una scala de espacios de Banach. Nuestro interés no es el producir una exposicion exhaustiva, sino el analizar hipótesis, comparar métodos de prueba y desarrollar ejemplos. También incluímos muchos comentarios de tipo histórico, y sugerimos direcciones para ampliar el estudio.

    Nuestra presentación termina con una discusión de la existencia y la unicidad de soluciones locales como propiedades genéricas.

  • English

    We discuss a collection of local existence and local uniqueness theorems, for the initial value problem in one variable. We consider real-valued equations and the obvious extensions to R n , as well as equations taking values in a Banach space, and in a scale of Banach spaces. The emphasis is not on giving an exhaustive exposition but, rather, on analyzing hypotheses, contrasting techniques of proof, and developing examples. We also make numerous remarks of a historic nature, and suggest directions for further study. Our exposition ends with a discussion of the existence and uniqueness of local solutions, as generic properties.