Resumen de CM elliptic curves and the Coates–Wiles Theorem

Martí Roset Julià

• català

  Descrivim un dels únics casos de la Conjectura de Birch i Swinnertor-Dyer que ha estat demostrat, l’anomenat teorema de Coates–Wiles. Sigui K un cos quadràtic imaginari amb anell d’enters O principal i sigui E una corba el·líptica definida sobre K amb multiplicació complexa per O. El teorema de Coates–Wiles afirma que si la sèrie L associada a E/K no s’anul·la en 1, aleshores el conjunt de punts K-racionals de E és finit. La prova que explicarem, donada per Karl Rubin, utilitza la teoria de sistemes d’Euler.

• English

  We describe one of the few cases of the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture that has been already proved, the so called Coates-Wiles Theorem. Let K be an imaginary quadratic eld with ring of integers O and class number 1 and let E be an elliptic curve dened over K with complex multiplication by O. The Coates-Wiles Theorem states that if the L-series attached to E=K does not vanish at 1, then the set of K-rational points of E is nite. We explain a proof given by Karl Rubin, which uses the theory of Euler systems.