La conjetura de Erdős–Straus

• Manuel Bello Hernández ^[1] ; Manuel Benito Muñoz ; Emilio Fernández Moral ^[1]
  1. [1] Universidad de La Rioja

     Universidad de La Rioja

     Logroño, España

     
• Localización: Zubía, ISSN 0213-4306, Nº 37-38, 2019-2020, págs. 149-176
• Idioma: español
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• Resumen
  • español

    A finales de la década de 1940, Paul Erdös y Ernst G. Straus establecieron la siguiente conjetura (CES): Dado un número natural n mayor o igual que 2, siempre es posible escribir la fracción 4/n como suma de tres fracciones racionales positivas con numerador (egipcias o unitarias). Esta conjetura hoy día sigue estando abierta.

    En este artículo presentamos un algoritmo sencillo que en caso de parada descompone la fracción 4/n como suma de tres fracciones racionales egipcias, llegamos a formular varias conjeturas que ofrecen condiciones suficientes para la validez de la CES y demostramos, por ejemplo, que CES se cumple en particular para todos los valores n que están en la imagen de un polinomio p(a,b,c) de tres variables, lineal en cada variable. Según comprobaciones asistidas por ordenador (nosotros lo hemos hecho para n menor o igual que mil doscientos billones), dichos valores n podrían incluir todos los números primos congruentes con 1 módulo 4. Y aunque, por un lado, probamos que los cuadrados no están en el conjunto imagen de enteros no negativos por la función polinómica p(a,b,c), por otro lado, y con ayudad de esa función, hemos podido dar una demostración constructiva de que hay un conjunto tan grande como se quiera de números consecutivos para los que CES es cierta.

  • English

    Paul Erdös and Ernst G. Straus conjectured in the late 1940s: Given a natural number n greather or equal to 2 it is always possible to decompose the fraction 4/n as sum of three positive rational number with numerator equal to 1 (Egyptian fractions). This conjecture (ESC) is open today.

    In this paper we study ESC, we establish some conjectures that offer sufficient conditions for the validity of ESC, we give an algorithm which, if it stops, breaks down the fraction 4/n as a sum of three Egyptian fractions, and, for example, we show that ESC holds for all the values of n in the range of a polynomial p(a,b,c) in three variables, linear as function of each variable. We conjecture that the values this polynomial include all the prime numbers congruent to 1 modulus 4, and we have done a computer-assisted verification of this fact for numbers up to 1.2 thousand trillion. On the one hand, we prove that the perfect squares do not belong to the image set of p(a,b,c) but, on the other, with the help of that polynomial we have been able to give a constructive proof that there are arbitrarily long sequences of consecutive numbers for which ESC is true.