Dos teoremas de interpolación.

• Galindo, Franklin ^[1]
  1. [1] Universidad Central de Venezuela

     Universidad Central de Venezuela

     Venezuela

     
• Localización: Divulgaciones matemáticas, ISSN-e 1315-2068, Vol. 17, Nº. 2, 2016 (Ejemplar dedicado a: Divulgaciones Matemáticas), págs. 15-42
• Idioma: español
• Enlaces
  • Texto completo
• Resumen
  • español

    En este artículo se presentan dos demostraciones del teorema de interpolación : Una para la lógica proposicional y otra para la lógica de primer orden ( ). Ambas se realizan en el contexto de la teoría de modelos . El teorema de interpolación afirma que si y son fórmulas, donde φ no es una contradicción, ψ no es válida y ψ es una consecuencia lógica de ( ), entonces existe una fórmula que está escrita en un lenguaje común al de y , tal que y . El teorema de interpolación fue demostrado por primera vez para por William Craig en 1957, y desde entonces se ha investigado la posibilidad de generalizarlo o aplicarlo. Dicho teorema tiene generalizaciones o aplicaciones en teoría de la demostración, teoría de modelos abstracta, ciencias de la computación, lógica modal, lógica intuicionista, etc. Se presentan ejemplos de aplicaciones o generalizaciones de la propiedad de interpolación relacionados con lógicas infinitarias, cuantificadores generalizados, segundo orden, no clásicas, abstractas, etc. También se ofrecen referencias de problemas abiertos sobre interpolación en el contexto de la teoría de modelos abstracta.

  • English

    In this paper we present two proofs of the interpolation theorem : One for propositional logic and one for first order logic ( ). Both are performed in the context of model theory. The interpolation theorem states that if and are formulas, where is not a contradiction, is not valid, and is a logical consequence of ( ), then there exists a formula which is written in a common language to that of and , such that and . The interpolation theorem was #rst proved for by William Craig in 1957, and since then the possibility of generalizing or applying it has been investigated. This theorem has generalizations or applications in proof theory, abstract model theory, computer science, modal logic, intuitionistic logic, etc. Examples of applications or generalizations of the interpolation property are presented related to infinitary logics, generalized quantifiers, secondorder, non-classical, abstract, etc, are presented. References on open problems regarding theinterpolation property in the context of abstract model theory are also offered.

• Referencias bibliográficas
  • E. Amir. Interpolation theorems for Nonmonotonic Reasoning Systems. Appear in 8th European Conference on Logic in Artificial Intelligence...
  • A. Anderson and R. Belnap. Entailment. The Logic of relevance and necesity. Princeton University Press. 1975.
  • J. Bell. Infinitary Logic. Enciclopedia de Filosofía de la universidad de Stanford. 2016. https://plato.stanford.edu/entries/logic-infinitary/
  • E. Beth. On Padoa's method in the theory of definition. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56 = Indagationes Math., 15: 330-339....
  • J. van Benthem. Interpolation, Annotated Proofs, and Inference Across Models. Interpolations Conference in Honor of William Craig. Universidad...
  • W. Craig. Linear reasoning. A new form the Herbrand-Gentzen theorem. The Journal of Symbolic Logic 22 (1957), N° 3, 250-268.
  • W. Craig. Three uses of the Herbrand-Gentzen theorem in relating model theory and proof theory. The Journal of Symbolic Logic 22 (1957), N°...
  • C. Chang and H. Keisler. Model Theory. Dover Publications, Inc. New York. 2012.
  • C. Di Prisco. Introdución a la lógica Matemática. EMALCA AMAZONIA. 2009.
  • C. Di Prisco. Inmersiones elementales y grandes cardinales. Notas no publicadas. 1982.
  • H. Enderton. Una Introducción Matemática a la lógic. Universidad Nacional Autónoma de México. México. 2004.
  • H. Ebbinghaus, J. Flum and W. Thomas. Mathematical Logic. Springer-Verlag. New York. 1989.
  • S. Feferman. Harmonious Logic: Craig’s Interpolation Theorem and its Descendants. Interpolations Conference in Honor o William Craig. Universidad...
  • D. Gabbay and L. Maksimova. Interpolation and Definability: modal and Intuitionistic Logics}. Clarendon Press. Oxford. 2005.
  • F. Galindo. Una presentación de la demostración directa del teorema de compacidad de la lógica de primer orden que usa el método de ultraproductos}....
  • K. Gödel. Obras completas. Alianza. Madrid. 1981.
  • L . Henkin. The completeness of the firs-orden functional calculu. The Journal of Symbolic Logic 14 (1949), 159-166.
  • L. Henkin. An extension of the Craig-Lyndon interpolation theorem. The Journal of Symbolic Logic 28 (1963), 201-216.
  • E. Hoogland. Definability and Interpolation. Model-Theoretic investigations. Institute for Logic, Language and Computation. Universiteit van...
  • G. Hughes y M. Cresswell. Introducción a la lógica modal. Tecnos. Madrid. 1973.
  • G. Hunter. Metalógica. Introducción a la metateoría de la lógica clásica de primer orden. Paraninfo. Madrid. 1981.
  • T. Jech. Set Theory. Springer. New York. 2000.
  • J. Makowsky. Model Theory in computer science: My Own Recurrent themes (and some lessons I learned). Faculty of Computer Science Technion-Israel...
  • M. Manzano. Teoría de modelos. Alianza. Madrid. 1989.
  • E. Mendelson. Introduction to Mathematical Logic. Chapman and Hall/CRL. U.S.A. 2009.
  • A. Nerode y R. Shore. Logic for Applications. Springer-Verlag. New York. 1993.
  • A. Robinson. A result on consistency and its application to the theory of definition. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 59 = Indag....
  • H. Royden. Real Analysis. Pearson. 2010.
  • S. Shapiro. Foundations without Foundationalism. A Caso for Second-order Logic. Clarendon Press. Oxford. 2002.
  • M. Sundström. A Pedagogical History of Compactness. The American Mathematical Monthly, Vol. 122, N° 7, (August-September 2015), 619-635.
  • C. Tinelli. The Impact of Craig's Interpolation Theorem in Computer Science. Interpolations Conference in Honor of William Craig. Universidad...
  • J. Väänänen. The Interpolation Theorem in Abstract Model Theory. Interpolations Conference in Honor of William Craig. Universidad de Stanford....
  • J. Väänänen. Barwise: Abstract Model Theory and Generalized Quantifiers. The Bulletin Symbolic Logic. Volumen 10, Número 1, Marzo 2004.