Can we detect Gaussian curvature by counting paths and measuring their length?

• Cano G., Leonardo A. ^[1] ; Carrillo, Sergio A. ^[2]
  1. [1] Universidad Nacional de Colombia

     Universidad Nacional de Colombia

     Colombia

     
  2. [2] Universidad Sergio Arboleda

     Universidad Sergio Arboleda

     Colombia

     
• Localización: Integración: Temas de matemáticas, ISSN 0120-419X, Vol. 38, Nº. 1, 2020, págs. 33-42
• Idioma: inglés
• DOI: 10.18273/revint.v38n1-2020003
• Títulos paralelos:
  • ¿Podemos detectar la curvatura gaussiana contando caminos y midiendo sus longitudes?
• Enlaces
  • Texto completo (pdf)
• Resumen
  • español

    El objetivo de este artículo es asociar una medida a ciertos conjuntosde caminos en el plano euclídeo R2 con puntos inicial y final fijos.Luego, trabajando en superficies parametrizadas con una métrica riemanianaespecífica, definimos y calculamos la integral de la longitud sobre el conjuntode caminos obtenidos como imagen bajo la parametrización dada de loscaminos considerados inicialmente en R2. Además, demostramos que esta integralestá dada por el promedio de las longitudes de los caminos externosmultiplicada por la medida del conjunto de caminos si, y solo si, la superficietiene curvatura gaussiana constante igual a cero.

  • English

    The aim of this paper is to associate a measure for certain sets ofpaths in the Euclidean plane R2 with fixed starting and ending points. Then,working on parameterized surfaces with a specific Riemannian metric, wedefine and calculate the integral of the length over the set of paths obtainedas the image of the initial paths in R2 under the given parameterization.Moreover, we prove that this integral is given by the average of the lengthsof the external paths times the measure of the set of paths if, and only if, thesurface has Gaussian curvature equal to zero.

• Referencias bibliográficas
  • Citas [1] Abate M. and Tovena F., Curves and Surfaces, Springer-Verlag, Milan, 2012.
  • [2] Abramowitz M. and Stegun I., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, New York, ninth...
  • [3] Cano L. and Díaz R., “Indirect Influences on Directed Manifolds”, Adv. Stud. Contemp. Math. 28 (2018), No. 1, 93–114.
  • [4] Cano L. and Díaz R., “Continuous Analogues for the Binomial Coefficients and the Catalan Numbers”, arXiv:1602.09132.
  • [5] Chaichian M. and Demichev A., Path Integrals in Physics: Volume I Stochastic Processes and Quantum Mechanics, Series in Mathematical...
  • [6] Feynman R. and Hibbs A., Quantum mechanics and integrals, McGraw–Hill Companies, Inc., New York, 1985.
  • [7] Salwinski D., “The Continuous Binomial Coefficient: An Elementary Approach”, Amer. Math. Monthly 123 (2018), No. 3, 231–244.
  • [8] Wakhare T. and Vignat C., “A continuous analogue of lattice path enumeration: part II”, Online J. Anal. Comb 14 (2019), #04, 22 p.