Resumen de Grafo asociado a los tamaños de las clases de conjugación de un grupo finito

Víctor Sotomayor

• español

  En el presente trabajo asociamos a los tamaños de las clases de conjugación de un grupo finito $G$ el denominado grafo primo $\Delta(G)$: los vértices son los números primos que dividen a algún tamaño de clase de $G$, y dos primos $p$ y $q$ forman una arista si $pq$ divide a algún tamaño de clase. Nuestro objetivo en este artículo es doble: por un lado, mostrar algunos resultados básicos en esta área de investigación, y por otro lado, demostrar un bonito e importante teorema de S. Dolfi sobre la inexistencia de conjuntos independientes de tres vértices en este grafo cuando $G$ es resoluble; es decir, dados tres vértices en $\Delta(G)$, siempre existen al menos dos de ellos conectados.

• English

  In this paper we attach to the set of conjugacy class sizes of a finite group $G$ the so-called prime graph $\Delta(G)$: the vertices are the prime numbers that divide some conjugacy class size of $G$, and two primes $p$ and $q$ form and edge whenever $pq$ divides some class size.Our objective in this note is twofold: on the one hand, to show some basic results within this research area; on the other hand, to prove a nice and important theorem due to S. Dolfi about the non-existence of independent sets of three vertices in this graph when $G$ is soluble; that is, given three distinct vertices of $\Delta(G)$, there always exist at least two of them which are connected.