El duodécimo problema de Hilbert para cuerpos cuadráticos imaginarios

• Gil Muñoz, Daniel ^[1]
  1. [1] Universitat Politècnica de Catalunya

     Universitat Politècnica de Catalunya

     Barcelona, España

     
• Localización: TEMat: Divulgación de trabajos de estudiantes de matemáticas, ISSN-e 2530-9633, Nº. 2, 2018, págs. 15-30
• Idioma: español
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• Resumen
  • español

    En este artículo se presentan los conceptos y herramientas más básicas para presentar una demostración debida a Deuring de la resolución del caso cuadrático-imaginario del duodécimo problema de Hilbert, que consiste en calcular explícitamente la extensión abeliana maximal de un cuerpo cuadrático imaginario.

    Presentamos el teorema de Kronecker-Weber para resolver el caso ciclotómico. Mediante la introducción de la teoría de cuerpos de clases, utilizamos la misma idea del caso ciclotómico para reducir el caso cuadrático-imaginario a describir explícitamente todos los cuerpos de clases radiales del cuerpo cuadrático imaginario. Introducimos la teoría de curvas elípticas con multiplicación compleja para resolver esta nueva formulación del problema y vemos un ejemplo de cálculo.

  • English

    In this article we present the main notions and basic tools to solve the imaginary-quadratic case of Hilbert’s 12th problem. This problem consists in computing explicitly the maximal abelian extension of an imaginary quadratic field.We present Kronecker-Weber’s theorem to solve the cyclotomic case. Next, we introduce class field theory and we use it to adapt the idea of the cyclotomic case in order to reduce the imaginary-quadratic case to describe explicitely all Ray class fields of the imaginary quadratic field. We introduce the theory of elliptic curves with complex multiplication to solve this new formulation and we see an example of computation.

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