Un estudio conciso de fibrados de Higgs

• Autores: A. Ronald Zúñiga Rojas
• Localización: Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, ISSN 2215-3373, ISSN-e 2215-3373, Vol. 26, Nº. 2, 2019 (Ejemplar dedicado a: Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones), págs. 197-214
• Idioma: inglés
• DOI: 10.15517/rmta.v26i2.38315
• Títulos paralelos:
  • A brief survey of higgs bundles
• Enlaces
  • Texto completo (pdf)
• Resumen
  • español

    Considerando una superficie compacta de Riemann de género mayor o igual que dos, un fibrado de Higgs es un par compuesto por un fibrado holomorfo sobre la superficie de Riemann, junto con un campo vectorialauxiliar, llamado campo de Higgs. Esta teoría inició hace unos treinta años, con el trabajo de Hitchin, cuando él reduce las ecuaciones de autodualidad de dimensión cuatro a dimensión dos, y así, estudiar esas ecuaciones sobre superficies de Riemann. Hitchin bautizó esos campos como campos de Higgs pues en el contexto de la física y de la teoría de gauge, describen partículas similares a las descritas por el bozón de Higgs. Más tarde, Simpson usó el nombre fibrado de Higgs para un fibrado holomorfo junto con un campo de Higgs. Hoy, los fibrados de Higgs son objeto de investigación en varias áreas tales como la teoría de Hodge no abeliana, Langlands, simetría de espejo, sistemas integrables, teoría cuántica de campos (QFT), entre otros. Los propósitos principales aquí son introducir estos objetos y presentar una breve pero completa construcción del espacio móduli de los fibrados de Higgs y algunas de sus estratificaciones.

  • English

    Considering a compact Riemann surface of genus greater or equal than two, a Higgs bundle is a pair composed of a holomorphic bundle over the Riemann surface, joint with an auxiliar vector field, so-called Higgs field. This theory started around thirty years ago, with Hitchin’s work, when he reduced the self-duality equations from dimension four to dimension two, and so, studied those equations over Riemann surfaces. Hitchin baptized those fields as Higgs fields because in the context of physics and gauge theory, they describe similar particles to those described by the Higgs bosson. Later, Simpson used the name Higgs bundle for a holomorphic bundle together with a Higgs field. Today, Higgs bundles are the subject of research in several areas such as non-abelian Hodge theory, Langlands, mirror symmetry, integrable systems, quantum field theory (QFT), among others. The main purposes here are to introduce these objects, and to present a brief but complete construction of the moduli space of Higgs bundles.

• Referencias bibliográficas
  • M.F. Atiyah, R. Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Phil. Trans. R. Soc. Lond. 308 (1982), no. 1505, 523-615.
  • R.A. Zúñiga-Rojas, Variations of Hodge structures of rank three k-Higgs bundles. Preprint, available at arXiv:1803.01936v3 [math.AG].
  • S.B. Bradlow, O. García-Prada, P.B. Gothen, What is a Higgs bundle?, Notices of the American Mathematical Society 54 (2007), no. 8, 980-981....
  • S.B. Bradlow, O. García-Prada, P.B. Gothen, Homotopy groups of moduli spaces of representations, Topology 47 (2008), no. 4, 203-224.
  • P.B. Gothen, R.A. Zúñiga-Rojas, Stratifications on the moduli space of Higgs bundles, Portugaliae Mathematica 74 (2017), 127-148.
  • P.B. Gothen, R.A. Zúñiga-Rojas, Stratifications on the Nilpotent Cone of the Hitchin Map, in progress.
  • G. Harder, M.S. Narasimhan, On the Cohomology Groups of Moduli Spaces of Vector Bundles on Curves, Math. Ann. 212 (1975), 215-248.
  • T. Hausel, Geometry of the moduli space of Higgs bundles, Ph.D. Thesis, Univ. of Cambridge, 1998.
  • N.J. Hitchin, The self-duality equations on a Riemann surface, Proc. London Math. Soc. 55 (1987), no. 3, 59-126.
  • N.J. Hitchin, Gauge theory on Riemann surfaces (M. Carvalho, X. Gomez- Mont and A. Verjovsky, editors), Lectures on Riemann surfaces: proceedings...
  • S. Kobayashi, Differential geometry of complex vector bundles, Publications of the Mathematical Society of Japan, Vol. 15, Iwanami Shoten,...
  • M. Lübke, A. Teleman, The Kobayashi-Hitchin Correspondence, World Scientific Publishing Co., 1995.
  • D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan, Geometric Invariant Theory, Springer, 1994.
  • M.S. Narasimhan, C.S. Seshadri, Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface, Annals of Mathematics, Second Series, Vol....
  • N. Nitsure, Moduli space of semistable pairs on a curve, Proc. London Math. Soc. Vol. s3-62, Issue 2 (March, 1991), 275-300.
  • S.S. Shatz, The Decomposition and Specialization of Algebraic Families of Vector Bundles, Compositio Mathematica 35 (1977), no. 2., 163-187.
  • C.T. Simpson, Higgs bundles and local systems, Publ. Math. de l’IHÉS, Tome 75, (1992) 5-95.
  • C.N. Yang, R.L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance, Phys. Rev. 96 (1954), no. 1, 191-195.
  • R.A. Zúñiga-Rojas, Homotopy groups of the moduli space of Higgs bundles, Ph.D. Thesis, Universidade do Porto, 2015.
  • R.A. Zúñiga-Rojas, Stabilization of the homotopy groups of the moduli spaces of k-Higgs bundles, Revista Colombiana de Matemáticas 52 (2018),...
  • A. Białynicki-Birula, Some theorems on actions of algebraic groups, Ann. of Math. 98 (1973), 480–497.