Longitud de palabra, longitud hiperbólica y número de auto-intersección de curvas en superficies

• Moira Chas ^[1] ; Tomás Mejía ^[2] (trad.)
  1. [1] Stony Brook University

     Stony Brook University

     Town of Brookhaven, Estados Unidos

     
  2. [2] Universidad Nacional de Colombia

     Universidad Nacional de Colombia

     Colombia

     
• Localización: Lecturas matemáticas, ISSN-e 0120-1980, Vol. 39, Nº. 2, 2018, págs. 77-104
• Idioma: español
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• Resumen
  • español

    Consideremos una superficie orientable Σ con característica de Euler ne- gativa, un conjunto minimal de generadores para el grupo fundamental de Σ , y una métrica de curvatura constante − 1 en Σ . Cada clase de homotopía (no basada) C de curvas cerradas orientadas en Σ determina tres números: la longitud de palabra (es decir, el mínimo número de letras necesarias para expresar a C como una palabra cíclica en los generadores y sus inversas), el mínimo número de auto-intersección geomé- trica, y finalmente la longitud geométrica. Estos tres números pueden ser calculados explícitamente (o aproximados) usando una computadora. En la primera parte de estas notas describiremos relaciones entre estos números y su estructura estadística cuando la longitud se hace muy grande.

    La segunda parte de estas notas esta dedicada a describir, desde un punto de vista elemental, una estructura de álgebra de Lie en el Z − módulo libre generado por las clases de homotopía libre de curvas cerradas en una superficie, que fue definida por Goldman en los ochenta. Esta estructura se define mediante la intersección transversal y la composición de lazos. Nos concentraremos en particular en relaciones entre la mencionada álgebra de Lie y la estructura de intersección y autintersección de curvas cerradas en una superficie .

  • English

    Consider an oriented surface Σ with negative Euler caracteristic, a mini- mal set of generators for the fundamental group of Σ and an hyperbolic metric with constant curvature1 on Σ . Each free homotopy class C of closed curves on Σ de- termines to three numbers : the word length (that is the number of letters needed to express C as a cyclic word on the generators and their inverses), the minimal number of self-intersections of a curve in C , and the geometric length. These three numbers can be explicitly computed (or approximated) by using a computer. In the first part of these notes, we will describe some relations existing between these numbers, and their statistical structure.

    The second part of the notes is devoted to the description, from an elementary point of view, of a Lie algebra structure defined on the free Z − module generated by the set of free homotopy classes of closed curves on a surface, as defined by Goldman in the eighties. This structure is defined by means of transverse intersection and composition of loops. We will focus on some relations between this algebra and the intersectoin and self-intersection structure of closed curves on a surface.