Resumen de El principio de Acción Mínima en el centenario del Quantum

Hugo Pérez Rojas, Fidel Castro Díaz Balart

• español

  Se hace un recuento histórico del Principio de Acción Mínima, y se plantea su importancia metodológica: las ecuaciones básicas de la Mecánica Clásica se pueden derivar de la conjunción del Principio de Acción Mínima con el Principio de Relatividad de Galileo y las hipótesis de homogeneidad e isotropía del espacio y la homogeneidad del tiempo. En la electrodinámica clásica, la situación es análoga: se puede construir la acción teniendo en cuenta ahora el Principio de Relatividad de Einstein. Mediante la solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden encontrar las ecuaciones del movimiento de las cargas en campos dados (fuerza de Lorentz) y las primeras dos ecuaciones de Maxwell. También, a partir de las fuentes del campo (cargas y corrientes), se obtiene segundo par de ecuaciones de Maxwell.

  En el caso de la Relatividad General, las trayectorias de una partícula libre están dadas por las geodésicas en el espacio-tiempo. Las ecuaciones de Einstein, resultan de extremar la acción. Tras un breve recuento histórico a partir de la introducción del quantum de acción en la física, se plantea la ecuación de Schrödinger, que puede derivarse también de un principio variacional, y el Principio de Heisenberg. Resulta especialmente interesante el papel de la acción clásica en la formulación de la mecánica cuántica mediante las integrales de trayectoria de Feynman. En ésta, la trayectoria clásica en el movimiento de un sistema entre dos configuraciones, corresponde al límite en que se hace tender a cero la constante de Planck.

  En la electrodinámica cuántica, se requiere igualmente de una Lagrangiana como punto de partida, conjuntamente con las propiedades de simetría espacio-temporal, la invarianza de calibración y la invarianza CPT.

  Finalmente, se hace referencia a la teoría electrodébil y se hace referencia a la cromodinámica cuántica.

• English

  A brief historical review of the Principle of Least Action is given, and it's methodological importance is emphasized: the basic equations of Classical Mechanics can be derived from the conjunction of the Principle Least Action with the Galilean Principle of Relativity and the hypothesis of homogeneity and isotropy of space and the homogeneity of time. In classical electrodinamics, the situation is similar: one can build the action keeping now in mind the Einstein's Principle of Relativity. By means of the solution of the Euler-Lagrange equations one obtain the equations of motion of charges in given fields (Lorentz force) and the first pair of Maxwell equations. Also, starting from the sources of the field (charges and currents), the second pair of Maxwell equations is obtained.

  In the case of the General Relativity, the trajectories of a free particle are given by the geodesic lines in space-time. The Einstein equations are also obtained by finding the extreme of some action. A brief historical review of quantum theory is given, starting from the introduction of the quantum of action in physics, to the Schrödinger equation, which can be obtained from a variational principle, and the Heisenberg Uncertainty Principle. Interesting is the role of the classical action in the formulation of quantum mechanics by means of the Feynman path integrals. In it, the classical trajectory in the motion of a system between two configurations, it corresponds the limit in which the Planck constant tends to zero. In quantum electrodinamics, it is required also to start from a Lagrangian together with the properties of space-time simmetry, the gauge invariance and the CPT invariance. Finally, mention is made to the electroweak theory and to quantum cromodynamics