Hyperbolicity and genuine nonlinearity conditions for certain p-systems of conservation laws, week solutions and the entropy condition

• Autores: Edgardo Pérez, Krzysztof Rózga
• Localización: Integración: Temas de matemáticas, ISSN 0120-419X, Vol. 35, Nº. 1, 2017 (Ejemplar dedicado a: Revista Integración), págs. 11-36
• Idioma: inglés
• DOI: 10.18273/revint.v35n1-2017002
• Títulos paralelos:
  • Condiciones de hiperbolicidad y no linealidad genuina para ciertos p-sistemas de leyes de conservación soluciones débiles y condición de entropía
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• Resumen
  • español

    Consideramos un p-sistema de leyes de conservación que surge de la teoría de elasticidad unidimensional. Tal sistema es determinado por una función W. Consideramos cuatro formas de W. Estas son los modelos de St. Venant-Kirchhoff, Ogden, Kirchhoff modificado y Blatz-Ko-Ogden. En cada uno de estos casos determinamos las condiciones de los parámetros μ, λ y f bajo las cuales el correspondiente sistema es hiperbólico y genuinamente no lineal. Establecemos qué significa una solución débil de un problema de valor inicial y de frontera. Finalmente nos preguntamos si tales soluciones satisfacen la condición de entropía. Para una función de entropía estándar damos una respuesta completa, excepto del caso de Blatz-Ko-Ogden. Para una función de entropía general estrictamente convexa, el resultado es que para el valor inicial de la función velocidad cerca de cero estas soluciones satisfacen la condición de entropía, bajo la restricción de hiperbolicidad y no linealidad genuina.     

  • English

    We consider a p-system of conservation laws that emerges in one dimensional elasticity theory. Such system is determined by a functionW. We consider four forms of W. These are St.Venant-Kirchhoff, Ogden, Kirchhoff modified, Blatz-Ko-Ogden forms. In each of those cases we termine the conditions for the parameters μ, λ and f, under which the corresponding system is hyperbolic and genuinely nonlinear. We also establish what it means a weak solution of an initial and boundary value problem. Finally we ask if such solutions satisfy the entropy condition. For a standard entropy function we provide a complete answer, except of the Blatz-Ko-Ogden case. For a general strictly convex entropy function the result is that for the initial value of velocity function near zero these solutions satisfy the entropy condition, under the assumption of hyperbolicity and genuine nonlinearity.

    MSC2010: 35L04, 35L60, 35L65, 35L67.

• Referencias bibliográficas
  • Citas [1] Bressan A. and LeFloch P., “Uniqueness of weak solutions to systems of conservations laws”, Arch. Ration. Mech. Anal. 140 (1997),...
  • [2] Bressan A. and Goatin P., “Oleinik type estimates and uniqueness for n × n conservation laws”, J. Differential Equations 156 (1999), No....
  • [3] Dafermos C.M., Hyperbolic conservation laws in continuum physics, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
  • [4] Dafermos C.M., “Genuinely nonlinear hyperbolic systems of two conservation laws”, in Contemp. Math. 238, Amer. Math. Soc. (1999), 115–126.
  • [5] Evans L., Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002.
  • [6] Glimm J., “Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations”, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), No. 4, 697–715.
  • [7] Lax P., “Hyperbolic systems of conservation laws”, Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), No. 4, 537–566.
  • [8] Lax P., “Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves”, CBMS Regional conference series in Mathematics,...
  • [9] Marsden J. and Hughes T., Mathematical foundations of elasticity, Dover Publications, New York, 1994.
  • [10] Ogden R.W., Non-linear elastic deformations, Dover Publications, New York, 1997.
  • [11] Pérez E., “Hyperbolicity and genuine nonlinearity conditions for certain p-systems of conservation laws, weak solutions and the entropy...
  • [12] Renardy M. and Rogers R., An introduction to Partial Differential Equations, Springer- Verlag, New York, 2004.