Resumen de Matemática difusa y complejos cúbicos

Adolfo Maceda Méndez

• español

  La matemática difusa generaliza los conceptos tradicionales de la matemática utilizando los llamados conjuntos difusos, lo que permite modelar y estudiar de manera más apropiada fenómenos caracterizados por su imprecisión. Estas generalizaciones incluyen conceptos de álgebra, análisis y topología, entre otros. Por otra parte, los complejos cúbicos tienen aplicaciones al procesamiento de imágenes digitales y al estudio de los sistemas dinámicos, pero en la literatura actual no hay una extensión de sus propiedades utilizando conjuntos difusos. En este documento se propone una generalización del concepto de complejo cúbico y de algunas de sus características, tales como realización poliédrica, conexidad, componente conexa y agujero, utilizando conjuntos difusos. Se definen los árboles superior e inferior de un complejo cúbico difuso, los cuales proporcionan información sobre la manera en la que están relacionados sus extremos regionales. También se definen los grupos de homología de estos complejos cúbicos difusos y se demuestra que el rango del 0-grupo de homología de un nivel dado es igual al número de máximos regionales de dicho nivel. Por último, se muestra cómo se le puede asociar un complejo cúbico difuso a una imagen digital bidimensional en tonos de gris para estudiar algunas de sus propiedades topológicas.

• English

  Fuzzy mathematics generalize concepts of traditional mathematics using fuzzy sets. This enables to study and model more properly phenomens characterized by imprecision. These generalizations includes concepts of algebra, analysis and topology. On the other side, cubical complexes haveapplications in digital image processing and in the study of dynamical systems, but in the actual literature there is not an extension of their properties using fuzzy sets. In this paper is proposed a generalization of the concept of cubical complex and of some of their properties, such as connectedness, polyhedral realization, connected component and holes, using fuzzy sets. The upper and lower trees of a fuzzy cubical complex are defined, which give information about the way in which its regional extrema are related. The homology groups of a fuzzy cubical complex are defined and it is shown that the rank of the 0-homology group of a given level is equal with the number of regional maxima of that level. Finally, it is shown how to associate a fuzzy cubical complex with a bidimensional digital grayscale image in order to study somo of its topological properties.