Justificación de la Necesidad de Utilizar el Cálculo Estocástico en Financiera

• García Villalón, Julio ^[1] ; Rodríguez Ruiz, Julián ^[2] ; Seijas, J. Antonio ^[3]
  1. [1] Universidad de Valladolid

     Universidad de Valladolid

     Valladolid, España

     
  2. [2] Universidad Nacional de Educación a Distancia

     Universidad Nacional de Educación a Distancia

     Madrid, España

     
  3. [3] Universidade da Coru˜na

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• Localización: Anales de ASEPUMA, ISSN-e 2171-892X, Nº. 23, 2015
• Idioma: español
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• Resumen
  • español

    Se inicia el trabajo dando una idea concisa de la teoría de la integración de Lebesgue, de Stieltjes y teoremas de convergencia. A continuación, se hace referencia al “Cálculo Estocástico versus Cálculo Clásico” observando que la relación clásica ya no es aplicable para las funciones reales que se presentan con frecuencia en la Matemática Financiera. Cuando en el siglo XIX, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815- 1897) a quien se le solía citar como el padre del Análisis Matemático, construyó la célebre “Función de Weier-strass”, real continua pero NO diferenciable en ninguna parte, esto se consideró entonces como una “curiosidad matemática”. Ahora bien, esta “curiosidad” se encuentra en el centro de la Matemática Financiera. Las representaciones de los tantos de cambio, tantos de interés, etc., son prácticamente continuas como muestran los datos de alta frecuencia disponibles hoy día. Pero son de “variación NO acotada” en todo el intervalo de tiempo considerado. En particular, NO son diferenciables en ninguna parte, por tanto, la función de Weierstrass representa un posible gráfico financiero. Debido a esta circunstancia, el cálculo financiero, necesita una extensión para funciones de variaci´on no acotada, tarea durante mucho tiempo estudiada por los matemáticos. Esta laguna se cubrió mediante el desarrollo del “Cálculo Estocástico” que se puede considerar como la Teoría de la Diferenciación e Integración de los Procesos Estocásticos. Por otra parte, se hace referencia a la “variación cuadrática”, a la Fórmula de Itô unidimensional, a la variación cuadrática del movimiento Browniano; a la diferencial estocástica de F(x) y por ´ultimo, se hace referencia a algunas aplicaciones.

  • English

    The job starts, giving a concise idea of the theory of Lebesgue integration, Stieltjes and convergence theorems. A reference to ”versus Stochastic Calculus Cal-culus Classic” is made, noting that the classical relationship is no longer applicable for real functions which are frequently presented in Financial Mathematics. In the nineteenth century, the German mathematician WEIERSTRAS Karl (1815-1897), whom he is often quoted as the father of Mathematical Analysis, built the famous real “function Weirstrass ”, which was not differentiable, but nevertheless was con-sidered as a “mathematical curiosity”.

    However, this curiosity is at the epicenter of the Financial Mathematics. The representations of many exchange and percentage points, are practically of a con-tinuous form as proven by today’s high frequency actual data. But they are of “Boundless variation” throughout the time interval considered. In particular, are indistinguishable (nowhere differentiable), therefore Weierstrass function represents a potential financial graphic.

    Due to this circumstance, the Financial Calculus, needed an extension for these functions of boundless variation which is task long studied by mathematicians. This gap was discovered along the development of “Stochastic Calculus”, which can be considered as the Theory of Differentiation and Integration of Stochastic Processes. Moreover, reference to “Quadratic Variation”, the “dimensional Itˆo formula”, the “Quadratic Variation Movement” becomes Brownian, the “Stochastic differential of F (x)” and finally, some applications are made.

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