La conjectura de Poincaré: problema resolt després d'un segle de noves idees i treball continu

• Autores: María Teresa Lozano Imízcoz
• Localización: Mètode: Revista de difusió de la investigació, ISSN 1133-3987, Nº. 93 (Reptes que fan progressar les matemàtiques), 2017 (Ejemplar dedicado a: Els problemes del mil·lenni), págs. 82-91
• Idioma: catalán
• Enlaces
  • Texto completo (pdf)
• Resumen

  • La conjectura de Poincaré és un problema topològic, establit el 1904 pel matemàtic francès Henri Poincaré, que caracteritza d’una manera molt senzilla l’esfera tridimensional. Es tracta d’utilitzar únicament el primer invariant de topologia algebraica –el grup fonamental– també definit i estudiat per Poincaré. La conjectura implica que si un espai no té forats essencials és que es tracta de l’esfera. Aquest problema va ser resolt entre 2002 i 2003 per Grigori Perelman, directament i com a conseqüència de la seua demostració de la conjectura de geometrització de Thurston, que culminava així el camí que havia marcat Richard Hamilton.

• Referencias bibliográficas
  • Hamilton, R. (1982). Three-manifolds with positive Ricci curvature. Journal of Differential Geometry, 17(2), 255–306.
  • Jaco, W., & Shalen, P. B. (1978). A new decomposition theorem for irreducible sufficiently-large 3-manifolds. En J. Milgram (Ed.), Algebraic...
  • Johannson, K. (1979). Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Berlín: Springer-Verlag.
  • Kneser, H. (1929). Geschlossene Flächen in dreidimesnionalen Mannigfaltigkeiten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 38,...
  • Milnor, J. (1962). A unique decomposition theorem for 3-manifolds. American Journal of Mathematics, 84(1), 1–7.
  • O’Shea, D. (2007). The Poincaré conjecture: In search of the shape of the universe. Nova York: Walker Publishing Company.
  • Perelman, G. (2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. ArXiv. Consultat en https://arxiv.org/abs/math/0211159
  • Perelman, G. (2003a). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. ArXiv. Consultat en https://arxiv.org/abs/math/0307245
  • Perelman, G. (2003b). Ricci flow with surgery on three-manifolds. ArXiv. Consultat en https://arxiv.org/abs/math/0303109
  • Poincaré, H. (1904). Cinquième complément à l’analysis situs. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 18(1), 45–110.
  • Scott, P. (1983). The geometries of 3-manifolds. Bulletin of the London Mathe­matical Society, 15(5), 401–487.