Ir al contenido

Documat


Sobre la continuidad de la aplicación raíz cuadrada de isomorfismos no negativos en espacios de Hilbert

  • Muentes Acevedo, Jeovanny de Jesus [1]
    1. [1] Universidade de São Paulo

      Universidade de São Paulo

      Brasil

  • Localización: Integración: Temas de matemáticas, ISSN 0120-419X, Vol. 33, Nº. 1, 2015 (Ejemplar dedicado a: Revista Integración), págs. 11-26
  • Idioma: español
  • Títulos paralelos:
    • On the continuity of the map square root of nonnegative isomorphisms in Hilbert spaces
  • Enlaces
  • Resumen
    • español

      Sea H un espacio de Hilbert real (o complejo). Todo operador no negativo L ∈ L(H) admite una única raíz cuadrada no negativa R ∈ L(H), esto es, un operador no negativo R ∈ L(H) tal que R2 = L. Sea GL+S (H) el conjunto de los isomorfismos no negativos en L(H). Primero probaremos que GL+S (H) es una variedad de Banach (real). Denotando como L1/2 la raíz cuadrada no negativa de L, en [3] Richard Bouldin prueba que L1/2 depende continuamente de L (esta prueba es no trivial). Este resultado tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, es usado para encontrar la descomposición polar de un operador limitado. Esta descomposición polar nos lleva a determinar los subespacios espectrales positivos y negativos de cualquier operador autoadjunto, y además, lleva a definir el índice de Máslov. El autor de este artículo da una prueba alternativa (y un poco más simplificada) de que L1/2 depende continuamente de L, y además, prueba que la aplicaciónR : GL+S (H) → GL+S (H)L → L1/2es un homeomorfismo.

    • English

      Let H be a real (or complex) Hilbert space. Every nonnegative operator L ∈ L(H) admits a unique nonnegative square root R ∈ L(H), i.e., a nonnegative operator R ∈ L(H) such that R2 = L. Let GL+S (H) be the set of nonnegative isomorphisms in L(H). First we will show that GL+S (H) is a convex (real) Banach manifold. Denoting by L1/2 the nonnegative square root of L. In [3], Richard Bouldin proves that L1/2 depends continuously on L (this proof is non-trivial). This result has several applications. For example, it is used to find the polar decomposition of a bounded operator. This polar decomposition allows us to determine the positive and negative spectral subespaces of any self-adjoint operator, and moreover, allows us to define the Maslov index. The autor of the paper under review provides an alternative proof (and a little more simplified) that L1/2 depends continuously on L, and moreover, he shows that the mapR : GL+S (H) → GL+S (H)L → L1/2is a homeomorphism.

  • Referencias bibliográficas
    • Citas [1] Bachman G. and Narici L., Functional Analysis, Reprint of the 1966 original. Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 2000.
    • [2] Bernardes N.C. e Fernandez C.S., Introdução às funções de uma variável complexa, textos Universitários, Sociedade Brasileira de Matemática,...
    • [3] Bouldin R., “The Norm Continuity Properties of Square Roots”, SIAM J. Math. Anal. 3 (1972), 206-210.
    • [4] Conway J.B., Functions of One Complex Variable, Graduate Texts in Mathematics, 11, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.
    • [5] Fabian M., Habala P., Hájek P., Montesinos V., Pelant J. and Zizler V., Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, CMS Books...
    • York, 2001.
    • [6] Fitzpatrick P.M., Pejsachowicz J. and Recht L., “Spectral flow and bifurcation of critical points of strongly-indefinite functionals....
    • 52-95.
    • [7] Kato T., Perturbation Theory for Linear Operators, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 132, Springer-Verlag, Berlín-New York,...
    • [8] Knopp K., Theory of Functions, I, Elements of the General Theory of Analytic Functions, Dover Publications, New York, 1945.
    • [9] Kreyszig E., Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons, New York-London-Sydney, 1978.
    • [10] Long Y., “A Maslov type index theory for sympletics paths”, Topol. Methods Nonlinear Anal. 10 (1997), no. 1, 47-78.
    • [11] Schechter M., Principles of Functional Analysis, Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, 36, American Mathematical Society,...
    • [12] Taylor A.E., Introduction to Functional Analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York; Chapman & Hall, Ltd., London, 1958.

Fundación Dialnet

Mi Documat

Opciones de artículo

Opciones de compartir

Opciones de entorno