Optimal production–sales strategies for a company at changing market price

• GRIGORIEVA, ELLINA V. ^[1] ; KHAILOV, EVGENII N. ^[2]
  1. [1] Texas Woman's University

     Texas Woman's University

     Estados Unidos

     
  2. [2] Department of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State Lomonosov Uni- versity, Moscow, 119992, Russia
• Localización: Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, ISSN 2215-3373, ISSN-e 2215-3373, Vol. 22, Nº. 1, 2015, págs. 89-112
• Idioma: inglés
• DOI: 10.15517/rmta.v22i1.17557
• Títulos paralelos:
  • Estrategias óptimas de ventas y producción para una compañía en un mercado con precios cambiantes
• Enlaces
  • Texto completo (pdf)
• Resumen
  • español

    En este artículo consideramos un monopolio produciendo un producto de consumo de gran demanda. Su precio de mercado depende del volumen de producción descrito por la función de producción de Cobb-Douglas. Una actividad de producción y ventas de la firma es modelada por una ecuación diferencial no lineal con dos controles de frontera: la participación en el resultado de las ventas que la compañía reinvierte para expandir su propia producción, y el monto de los préstamos a corto plazo adquiridos del sistema bancario con el mismo propósito. Se plantea y resuelve el problema de maximizar la ganancia total descontada en un intervalo de tiempo dado. Para encontrar las estrategias óptimas de producción y ventas para la compañía, se usa el principio del máximo de Pontryagin. Para investigar el problema de valores de dos puntos de frontera que aparece para el principio del máximo, se aplica un análisis del sistema hamiltoniano correspondiente. Basado en un análisis cualitativo del sistema, encontramos que dependiendo de las condiciones iniciales y los parámetros del modelo, tanto el control singular como el bang-bang pueden ser óptimos. Se discute un análisis económico de las soluciones óptimas.

  • English

    In this paper we consider a monopoly producing a consumer good of high demand. Its market price depends on the volume of the produced goods described by the Cobb-Douglas production function. A production-sales activity of the firm is modeled by a nonlinear differential equation with two bounded controls: the share of the profit obtained from sales that the company reinvests into expanding own production, and the amount of short-term loans taken from a bank for the same purpose. The problem of maximizing discounted total profit on a given time interval is stated and solved. In order to find the optimal production and sales strategies for the company, the Pontryagin maximum principle is used. In order to investigate the arising two-point boundary value problem for the maximum principle, an analysis of the corresponding Hamiltonian system is applied. Based on a qualitative analysis of this system, we found that depending on the initial conditions and parameters of the model, both, singular and bang- bang controls can be optimal. Economic analysis of the optimal solutions is discussed.

• Referencias bibliográficas
  • Arrow, K.J. (1968) “Application of control theory to economic growth", in: Lectures in Applied Mathematics, Mathematics of the Decision...
  • Aseev, S.M.; Kryazhimskii, A.V. (2007) “The Pontryagin maximum principle and optimal economic growth problems", Proceedings of the Steklov...
  • Caputo, M.R. (2005) Foundations of Dynamic Economic Analysis: Optimal Control Theory and Applications. Cambridge University Press, Cambridge,...
  • Carlson, D.A.; Haurie, A.B.; Leizarowitz, A. (1991) Infinite Horizon Optimal Control: Deterministic and Stochastic Systems. Springer–Verlag,...
  • Demin, N.S.; Kuleshova, E.V. (2008) “Control of a one–sector economy on finite time interval with account of tax deductions", Journal...
  • Grigorieva, E.V.; Khailov, E.N. (2007) “Optimal control of a nonlinear model of economic growth", Discrete and Continuous Dynamical Systems,...
  • Intriligator, M.D. (2002) Mathematical Optimization and Economic Theory. SIAM, Philadelphia.
  • Khelifi, A. (2010) “Explicit solution to optimal growth models", International Journal of Economics and Finance 2(5): 116–121.
  • Kryazhimskii, A.; Watanabe, C. (2004) Optimization of Technological Growth. Gendaitosho, Japan.
  • Lee, E.B.; Marcus, L. (1967) Foundations of Optimal Control Theory. John Wiley & Sons, New York.
  • Leontief, W.W. (1966) Input-Output Economics. Oxford University Press, New York.
  • Loon, P.A. (1983) Dynamic Theory of the Firm: Production, Finance, and Investment. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol....
  • Pontryagin, L.S.; Boltyanskii, V.G.; Gamkrelidze, R.V.; Mishchenko, E.F. (1962) Mathematical Theory of Optimal Processes. John Wiley &...
  • Robinson, R.C. (2004) An Introduction to Dynamical Systems: Continuous and Discrete. Pearson Prentice Hall, New Jersey.
  • Solow, R.M. (1956) “Contribution to the theory of economic growth", Quarterly Journal of Economics 70(1): 65–94.
  • Swan, T.W. (1956) “Economic growth and capital accumulation", Economic Record 32(2): 334–361.
  • Vasil’ev, F.P. (2002) Optimization Methods. Factorial Press, Moscow.
  • Weitzman, M.L. (2003) Income, Wealth, and Maximum Principle. Harvard University Press, Cambridge, UK.