Resumen de Teories de primer ordre i els problemes de Tarski

Montserrat Casals Ruiz

• català

  A principis del segle xx, les matemàtiques varen viure una crisi de fonaments coneguda com a Grundlagenkrise der Mathematik. Com a resposta a la necessitat de formalització de les matemàtiques, la lògica matemàtica va experimentar un desenvolupament profund. Aquest desenvolupament va derivar en el naixement de diverses branques de les matemàtiques, entre les quals la teoria de models, que estudia les estructures algebraiques des de la perspectiva de la lògica matemàtica. En aquest article presentem aquest punt de vista, mostrant tant la seva potència com les seves limitacions.

  Comencem amb l�estudi del cos dels nombres complexos i dels nombres reals revisant els teoremes clàssics de Tarski. Continuem presentant alguns resultats de teoria de grups, com els teoremes de Szmielew sobre la teoria de primer ordre dels grups abelians. Acabem amb un resum de la solució recent dels problemes de Tarski sobre la teoria elemental dels grups lliures.

• English

  At the beginning of the 20th century, mathematics suffered a foundational crisis, known as the Grundlagenkrise der Mathematik. To answer the need of formalization of mathematics, mathematical logic underwent a profound development. An important outcome of this development was the birth of a new branch of mathematics - Model Theory, which studies algebraic structures from the viewpoint of mathematical logic. In this article we present this approach, its power and its limitations. We begin by reviewing some classical results, such as theorems of A. Tarski on the fields of complex and real numbers. We then present several grouptheoretic results, including results of W. Szmielew on the first-order theory of abelian groups. We finish with a survey of the recent solution of the Tarski problems on the elementary theory of the free group. This article is based on the talk presented by the author to the XIII Meeting of the Catalan Mathematical Society.