The transversality condition for infinite dimensional control systems

• Autores: Diomedes José Bárcenas Morillo, Hugo Antonio Leiva A., Ambrosio José Tineo Moya
• Localización: Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, ISSN-e 1315-4125, Vol. 17, Nº. 2, 2010, págs. 75-87
• Idioma: inglés
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  • español

    En este trabajo se ofrece una definición de transversalidad para el siguiente sistema de control infinito dimensional ( x_ (t) = Ax(t) + Bu(t) t > 0 x(0) = x0 2 X; u(t) 2 U  U; x(t) 2 G(t);

    para t? > 0 mnimo; en el estado x(t) 2 X, X y U son espacios de Banach, A es el generador in nitesimal de un grupo fuertemente continuo fS(t)gt2R en X, B 2 L(U;X), el conjunto objetivo G  X y el conjunto control U son convexos y debilmente compactos. Para este sistema damos una condicion necesaria para que un control que satisfaga la condicion de transversalidad sea optimo. Por ultimo, como aplicacion se considera el problema de control optimo gober- nado por la ecuacion de onda 8>>< >>:

    ytt ..
    y = u(t; x); x 2 ; t 2 R y = 0; on R  @ ;

    y(0; x) = y0(x); yt(0; x) = y1(x); x 2 ;

    ku(t;
    )kL2  1; t 2 R;

    donde es un dominio acotado en Rn, el control distribuido u 2 L2(0; t1;L2(!)); para este problema calculamos el control extremo.

  • English

    In this paper we provide a definition of transversality for the following infinite dimensional control system ( x_ (t) = Ax(t) + Bu(t) t > 0 x(0) = x0 2 X; u(t) 2 U  U; x(t) 2 G(t);

    for t? > 0 minimum; where the state x(t) 2 X, X and U are Banach spaces, A is the in nitesimal generator of a strongly contin- uous group fS(t)gt2R in X, B 2 L(U;X), the target set G  X and the control values set U are convex and weakly compact. For this system we give a necessary condition for a control satisfying the transversality condition to be optimal. Finally, as an application we consider the optimal control problem governed by the wave equation 8>>< >>:

    ytt ..
    y = u(t; x); x 2 ; t 2 R y = 0; on R  @ ;

    y(0; x) = y0(x); yt(0; x) = y1(x); x 2 ;

    ku(t;
    )kL2  1; t 2 R;

    where is a bounded domain in Rn, the distributed control u 2 L2(0; t1;L2( )); for this problem we compute the extremal control.