Resumen de Medidas de riesgo en Finanzas
Arturo Kohatsu-Higa 
A la luz de recientes acontecimientos nancieros as como de acuerdos de regulacion nanciera (en particular, Basel II), se revela la necesidad del desarrollo de medidas de riesgo apropiadas para diversos productos nancieros complejos. El calculo se debe realizar de manera robusta, lo cual requiere la consideracion de diversos modelos para el mismo problema. Asimismo, restricciones de tiempo requieren un calculo rapido dentro de la posibilidad tecnologica disponible. En esta ponencia presentaremos el estado actual de la investigacion sobre el calculo de riesgos en nanzas. Por un lado, existen diversas tecnicas especializadas para modelos concretos y por otro las tecnicas generales que usualmente no son optimas pero que permiten el estudio de diversos modelos.
En esta segunda opcion presentaremos aplicaciones del calculo de Malliavin desarrollado en los a~nos 80 para el estudio de densidades de variables aleatorias generadas en el espacio de Wiener. En particular, presentaremos las ideas principales en el calculo de las medidas de riesgo en nanzas. El calculo de Malliavin es un calculo diferencial in nito dimensional en el espacio de Wiener. El concepto de derivada es una derivada de Frechet pero de nida solo en determinadas direcciones que son importantes en el sentido de que conservan las propiedades de la medida sobre el espacio de Wiener. Esta derivada tiene un operador dual no acotado que genera una formula de integracion por partes. Esta herramienta fundamental permite la expresion estocastica de la densidad de una variable aleatoria cuya densidad no se puede calcular de forma explcita. Esta formula permite el calculo de la densidad a traves del metodo de Monte Carlo. Asimismo, diversas tecnicas de reduccion de varianza han sido desarrolladas para este metodo. Las medidas de riesgo mas comunes son derivadas de esperanzas con respecto a diversos parametros. Las medidas de sensibilidad tienen una relacion directa con las densidades, por lo que la utilizacion de la formula de integracion por partes del calculo de Malliavin es posible.
En matematicas nancieras, la utilizacion de modelos con saltos es cada vez mas frecuente como lo demuestran los modelos de varianza gamma, hiperbolicos, y gaussianos inversos entre otros. Por esto la generalizacion del calculo de Malliavin y en particular la formula de integracion por partes para procesos de Levy generados por distribuciones in nitamente divisibles es uno de los retos teoricos y practicos planteados. En el aspecto teorico este problema se ha intentado resolver desde hace 40 a~nos con diversos resultados parciales aunque estos resultados parciales no son su cientes para ser aplicados a los modelos utilizados en nanzas. Recientemente, se han desarrollado tecnicas explcitas para diversos modelos con saltos utilizando el cambio de medida de Escher as como la propiedad de subordinacion de procesos de Levy en nanzas. Otro aspecto paralelo al desarrollo de estas tecnicas ha sido la posibilidad de la aplicacion de estas tecnicas al problema de calibracion en nanzas.
Puesto que diversos productos nancieros, cuyos precios son datos de Mercado, no tienen formulas cerradas para diversos modelos, el problema de estimacion estadstica de parametros es un problema complejo. Para la resolucion de este problema se han propuesto tecnicas cuyo fundamento proviene de los desarrollos de Edgeworth para obtener soluciones aproximadas al problema. Muchas de estas metodologas son solo heursticas y aguardan un fundamento estadstico teorico, siendo este uno de los retos fundamentales para la estadstica de procesos continuos en nanzas.
