Resumen de Una debilitación del axioma de elección para el árbol binario estándar

Johan Bogoya, Carlos E. Montenegro Marín

• español

  El axioma de elección dice que para cada colección de conjuntos (es decir conjunto de conjuntos) [X], existe una función [f] tal que [f(x)] [perteneciente a] [x] para todos los [x] [perteneciente a] [X] no vacíos, es decir, la función [f] selecciona un elemento de cada conjunto de la colección [X]; a dicha función la llamamos función electora. Se acostumbra debilitar dicho axioma imponiendo condiciones sobre el conjunto [X] como por ejemplo: "[X] es una colección de [n]-conjuntos, es decir que los elementos de [X] son conjuntos finitos de tamaño [n]" o debilitando la función electora [f] al cambiar la condición [f(x)] [perteneciente a] [x] por [conjunto vacío] [distinto de] [f(x)][no perteneciente a] [x], en este último caso decimos que [f] es una función selectora. Decimos que el criterio [S_n] es válido en un modelo [MU] si todas las colecciones de [n]-conjuntos [X] en [MU], tienen una función selectora. En el presente trabajo se exhibe un modelo de permutación de soporte finito [2, capítulo 4] donde el criterio [S_n] es falso para todos los enteros [n] de la forma 2^[k], con [k] natural y es válido para el resto de los naturales.

• English

  The axiom of choice says that for any collection of sets (or for any set of sets) [X], exists a function [f] such that [f(x)] [in] [x] for all non empty [x] [in] [X], i.e. [f] takes an element in each set of the collection [X], such function is called a "choice function", it is customary to weak the axiom of choice by putting some extra condition for the set [X] such that: "[X] is a [n]-set collection, meaning that the elements of [X] are finite sets of size [n]" or in the other hand, weakening the choice function [f] by changing the condition [f(x)] [in] [x] by the simpler one [emptyset] [not equal] [f(x)] [subset not equal] [x], in this last case we say that [f] is a "sellector function". We say that the [S_n] criterion is true in a model [MU] if all the possible collections of [n]-sets [X] in [MU], have a sellector function. In the present work we exhibit a permutation model of finite support [2, chapter 4] where the [S_n] criterion fails for all the naturals [n] of the form 2^[k] with [k] natural, and works for the rest of the naturals.