Force, deflection, and time: Proposition VI of Newton's Principia

• Autores: Bruce Pourciau
• Localización: Historia mathematica, ISSN 0315-0860, Vol. 34, Nº 2, 2007, págs. 140-172
• Idioma: inglés
• DOI: 10.1016/j.hm.2006.08.005
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• Resumen
  • Deutsch

    Diese Untersuchung verdeutlicht die Formulierungen und Beweise des Sechsten Lehrsatzes im Buch I von Newtons Principia. Dabei wird zunächst ihre Entwicklung verfolgt, um festzustellen, inwiefern sich der Text im Vergleich zu früheren Fassungen gewandelt hat. Anschließend werden einige Uneindeutigkeiten untersucht, wie sie sich in zwei jüngeren Kommentaren zum Sechsten Lehrsatz zeigen. Sodann werden andere Uneindeutigkeiten in Newtons eigenem Beweis und insbesondere in seiner Formulierung des Lehrsatzes registriert. Was genau meint Newton mit ¿corpus ¿ circa centrum immobile in orbe quocunque revolvatur¿? Mit ¿arcum quemvis jamjam nascentem¿? Mit ¿sagitta arcus¿? Mit ¿vis centripeta¿? Mit ¿erit ¿ ut¿? Um den mathematischen Bedeutungen nachzugehen, die Newton bei diesen Wendungen im Sinn hat, werden Erörterungen zur ¿Methode der ersten und letzten Verhältnisse¿, zur Zentripetalkraft, und zum zweiten Bewegungsgesetz in früheren Abschnitten der Principia untersucht. Was der Sechste Lehrsatz bedeuten soll, lässt sich dann aus den Bedeutungen jener Wendungen rekonstruieren. Als nächstes rückt der Beweis des Sechsten Lehrsatzes in den Mittelpunkt, wobei zunächst festgestellt wird, dass Newtons eigenes Argument nicht vollständig überzeugend ist, ehe ein neuer, strengerer Beweis konstruiert wird. Allerdings ist dieser Beweis nicht so einfach wie man erwarten könnte, und die Ursache dafür liegt in der ¿sagitta arcus¿, die im Sechsten Lehrsatz das Maß der Ablenkung ist. Indem man anstelle der sagitta ein natürliches Maß der Ablenkung verwendet, erhält man etwas, das sich als Platonischer Sechster Lehrsatz bezeichnen ließe und dessen Beweis von Platonischer Einfachheit ist. Abschließ end wird der grundlegende erste Zusatz des Sechsten Lehrsatzes untersucht. In dessen Formulierung ersetzt Newton die sagitta des Sechsten Lehrsatzes durch eine nicht vollständig gleiche Ablenkung von der Tangente und die vom Radius aufgespannte Fläche (die im Sechsten Lehrsatz die Zeit darstellt) durch die nicht vollständig gleiche Fläche eines Dreiecks. Diese beiden Approximationen führen zu kleinen Abweichungen, aber sind diese Abweichungen klein genug? Gehen sie schnell genug gegen Null, um diese Substitutionen zu rechtfertigen? Newton muss dieser Überzeugung gewesen sein, aber er hat es, genau wie nachfolgende Kommentatoren, versäumt, diese Frage zu stellen. Diese Studie stellt und beantwortet diese fundamentale Frage, was es möglich macht, einen überzeugenden Beweis des ersten Zusatzes zu liefern.

  • English

    In this extended study of Proposition VI, and its first corollary, in Book I of Newton's Principia, we clarify both the statements and the demonstrations of these fundamental results. We begin by tracing the evolution of this proposition and its corollary, to see how their texts may have changed from their initial versions. To prepare ourselves for some of the difficulties our study confronts, we then examine certain confusions which arise in two recent commentaries on Proposition VI. We go on to note other confusions, not in any particular commentary, but in Newton's demonstration and, especially, in his statement of the proposition. What, exactly, does Newton mean by a ¿body [that] revolves ¿ about an immobile center¿? By a ¿just-nascent arc¿? By the ¿sagitta of the arc¿? By the ¿centripetal force¿? By ¿will be as¿? We search for the mathematical meanings that Newton has in mind for these fragments of the Proposition VI statement, a search that takes us to earlier sections of the Principia and to discussions of the ¿method of first and last ratios,¿ centripetal force, and the second law of motion. The intended meaning of Proposition VI then emerges from the combined meanings of these fragments. Next we turn to the demonstration of Proposition VI, noting first that Newton's own argument could be more persuasive, before we construct a modern, more rigorous proof. This proof, however, is not as simple as one might expect, and the blame for this lies with the ¿sagitta of the arc,¿ Newton's measure of deflection in Proposition VI. Replacing the sagitta with a more natural measure of deflection, we obtain what we call Platonic Proposition VI, whose demonstration has a Platonic simplicity. Before ending our study, we examine the fundamental first corollary of Proposition VI. In his statement of this Corollary 1, Newton replaces the sagitta of Proposition VI by a not quite equal deflection from the tangent and the area swept out (which represents the time by Proposition I) by a not quite equal area of a triangle. These two approximations create small errors, but are these errors small enough? Do the errors introduced by these approximations tend to zero fast enough to justify these replacements? Newton must believe so, but he leaves this question unasked and unanswered, as have subsequent commentators on this crucial corollary. We end our study by asking and answering this basic question, which then allows us to give Corollary 1 a convincing demonstration