Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815

• Autores: Giovanni Ferraro
• Localización: Historia mathematica, ISSN 0315-0860, Vol. 34, Nº 1, 2007, págs. 62-88
• Idioma: inglés
• DOI: 10.1016/j.hm.2005.08.004
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• Resumen
  • English

    In the early calculus mathematicians used convergent series to represent geometrical quantities and solve geometrical problems. However, series were also manipulated formally using procedures that were the infinitary extension of finite procedures. By the 1720s results were being published that could not be reduced to the original conceptions of convergence and geometrical representation. This situation led Euler to develop explicitly a more formal approach which generalized the early theory. Formal analysis, which was predominant during the second half of the 18th century despite criticisms of it by some researchers, contributed to the enlargement of mathematics and even led to a new branch of analysis: the calculus of operations. However, formal methods could not give an adequate treatment of trigonometric series and series that were not the expansions of elementary functions. The need to use trigonometric series and introduce nonelementary functions led Fourier and Gauss to reject the formal concept of series and adopt a different, purely quantitative notion of series.

  • italiano

    Nella prima fase del calcolo, i matematici usavano serie convergenti per rappresentare quantità geometriche e risolvere problemi geometrici. Tuttavia le serie erano manipolate formalmente, cioè per mezzo di procedure che erano l'estensione infinitaria di procedure finite. Dagli anni venti del diciottesimo secolo, furono trovati molti nuovi risultati che non potevano essere ridotti alla nozione originale. Di fronte a tale situazione Euler forni` una nuova e più formale interpretazione del concetto di serie che permetteva di generalizzare la teoria originaria. Tale più formale approccio, nonostante alcune critiche, dominò la seconda parte del secolo. Esso contribui` alla crescita della conoscenze matematiche e, perfino, condusse alla nascita di una nuova teoria: il calcolo delle operazioni. Tuttavia, esso non fu in grado di fornire un adeguato trattamento delle serie trigonometriche e delle serie che non erano lo sviluppo di funzioni elementari. Cosi` la necessità di usare le serie trigonometriche e di introdurre non elementari funzioni in analisi condusse Fourier e Gauss a rifiutare l'approccio formale e a sostenere una differente, puramente quantitativa concezione di serie.