Resumen de The impact of the Radon-Nikodym property on the weak bounded approximation property

Eve Oja

• español

  Se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad de aproximación ¿-acotada débil si para todo espacio de Banach reflexivo y separable Y , y para todo operador compacto T : X ! Y , existe una red (S®) de operadores de rango finito sobre X tal que sup® kTS®k · ¿kTk y S® ! IX uniformemente sobre subconjuntos compactos de X. Probamos el siguiente teorema. Supongamos que X¿¿ o Y ¿ tengan la propiedad de Radon-Nikodým; si X tiene la propiedad de aproximación ¿-acotada débil, entonces para todo operador lineal acotado T : X ! Y , existe una red (S®) como en la definición anterior. Resulta que las propiedades de aproximación ¿-acotada d¿ebil y de aproximación ¿-acotada son equivalentes para X, si X¿, o bien X¿¿, tiene la propiedad de Radon-Nikodým. Gracias al teorema de Johnson sobre el levantamiento de la propiedad de aproximación métrica de los espacios de Banach a sus duales, esto proporciona una nueva prueba del siguiente resultado clásico: si X¿ tiene la propiedad de aproximación y X¿, o bien X¿¿, tiene la propiedad de Radon-Nikodým, entonces X¿ tiene la propiedad de aproximación métrica.

• English

  . A Banach space X is said to have the weak ¿-bounded approximation property if for every separable reflexive Banach space Y and for every compact operator T : X ! Y , there exists a net (S®) of finite-rank operators on X such that sup® kTS®k · ¿kTk and S® ! IX uniformly on compact subsets of X. We prove the following theorem. Let X¿¿ or Y ¿ have the Radon-Nikod¿ym property; if X has the weak ¿-bounded approximation property, then for every bounded linear operator T : X ! Y , there exists a net (S®) as in the above definition. It follows that the weak ¿-bounded and ¿-bounded approximation properties are equivalent for X whenever X¿ or X¿¿ has the Radon-Nikod¿ym property. Relying on Johnson's theorem on lifting of the metric approximation property from Banach spaces to their dual spaces, this yields a new proof of the classical result: if X¿ has the approximation property and X¿ or X¿¿ has the Radon-Nikod¿ym property, then X¿ has the metric approximation property