Resumen de The Projective Tensor Product II: The Radon-Nikodym Property

Joe Diestel, J.H. Fourie, J.W. Swart

• español

  En este trabajo discutimos el problema de cuando el producto tensorial proyectivo de dos espacios de Banach tiene la propiedad de Radon-Nikodym. Damos una exposición detallada de los famosos ejemplos de Bourgain y Pisier de dos espacios de Banach X e Y con la propiedad de Radon- Nikodym tales que su producto tensorial proyectivo no la tiene; este resultado depende de la teoría clásica de operadores absolutamente sumantes, integrales y nucleares, así como de la famosa desigualdad de Grothendieck como herramienta básica. En la última sección de este trabajo discutimos muchos resultados positivos, debidos a Qingying Bu y a varios de sus coautores; en particular, mencionamos resultados de Bu, Diestel, Dowling y Oja en la dirección de que si uno de los espacios tiene una FDD acotadamente completa, entonces el producto tensorial proyectivo de dos espacios con la RNP la tiene, y una modificación de un resultado de Bu y Pei-Kee Lin en el sentido de que si X es un retículo de Banach con la RNP e Y es cualquier espacio de Banach con la RNP entonces su producto tensorial proyectivo tiene la RNP.

• English

  In this paper we discuss the problem of when the projective tensor product of two Banach spaces has the Radon-Nikodym property. We give a detailed exposition of the famous examples of Jean Bourgain and Gilles Pisier showing that there are Banach spaces X and Y such that each has the Radon-Nikodym property but for which their projective tensor product does not; this result depends on the classical theory of absolutely summing, integral and nuclear operators, as well as the famous Grothendieck inequality for its punch-line. In the last section of this paper we discuss many results of a positive character, due to Qingying Bu and various of his coauthors; in particular, we mention results of Bu, Diestel, Dowling and Oja to the effect that if one of the spaces has a boundedly complete FDD then the projective tensor product of two spaces with the RNP has it and a modification of a result of Bu and Pei-Kee Lin to the effect that if X is a Banachlattice with RNP and Y is any Banach space with RNP then their projective product has RNP.