Resumen de Buscando puntos racionales en curvas elípticas: Métodos explícitos

Álvaro Lozano Robledo

• ¿Qué números naturales son área de un triángulo recto con lados racionales? A estos números se les llama números congruentes. Por ejemplo, el triángulo asociado a la terna pitagórica (3,4,5) tiene área 6. Sorprendentemente, un número natural -n- es congruente si y sólo si la ecuación y2=x3-n2x tiene infinitas soluciones racionales. Esta ecuación es un ejemplo de curva elíptica. Del mismo modo, muchos otros problemas aritméticos y geométricos están relacionados con curvas de este tipo. Por desgracia, hasta la fecha no se ha encontrado un algoritmo capaz de encontrar todos los puntos racionales en curvas elípticas. En este artículo presentamos algunos de los métodos parciales y resultados más eficientes en este campo.