Método Gradiente y Subgradiente en el Espacio de Poincaré y de las Matrices Definidas Positivas

• Autores: Erik Alex Papa Quiroz, Jhon Erick Rios Cortegana
• Localización: Revista Politécnica, ISSN-e 2477-8990, Vol. 57, Nº. 1, 2026 (Ejemplar dedicado a: Revista Politécnica), págs. 35-50
• Idioma: español
• DOI: 10.33333/rp.vol57n1.03
• Títulos paralelos:
  • Gradient and Subgradient Methods in the Poincaré Space and the Space of Positive Definite Matrices
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• Resumen
  • español

    Este artículo se centra en dos problemáticas principales en el marco de la optimización en variedades Rieman-nianas. La primera radica en la dificultad de implementar computacionalmente las geodésicas explícitas que parten de un punto con alguna dirección del plano tangente en la variedad del plano superior de Poincaré. Aunque es  posible resolver analíticamente la ecuación diferencial de la geodésica vinculada a los símbolos de Christoffel, estas expresiones resultan complejas para su uso en algoritmos iterativos. Para superar esta limitación, se propone una estrategia numérica basada en el método de Runge–Kutta de cuarto orden, al aproximar la geodésica y realizar algunos cálculos fundamentales para métodos de gradiente y subgradiente en este contexto. La segunda problemática es la implementación computacional de métodos de gradiente y subgradiente en el plano superior de Poincaré y en matrices definidas positivas (SDP). En el caso de minimizar funciones no diferenciales, se necesita por ejemplo el cálculo del subdiferencial convexo o el cálculo del subdiferencial de Greenberg–Pierskalla para funciones cuasi-convexas. Analizaremos estas  implementaciones en estos dos espacios vistos como variedades Riemannianas y obtendremos resultados ventajosos comparados con los métodos implementados en el espacio Euclidiano.

  • English

    This article focuses on two main issues within the framework of optimization on Riemannian manifolds. The first concerns the computational difficulty of explicitly implementing geodesics that originate from a point in a given tangent direction on the upper half-plane manifold of Poincaré. Although the differential equation for the geodesic associated with the Christoffel symbols can be solved analytically, the resulting expressions are too complex for use in iterative algorithms. To overcome this limitation, we propose a numerical strategy based on the fourth-order Runge–Kutta method to approximate the geodesic and perform key computations for gradient and subgradient methods in this context.The second issue is the computational implementation of gradient and  subgradient methods on the Poincaré upper half-plane and on the manifold of symmetric positive definite (SPD) matrices. In the case of minimizing non-differentiable functions, it is necessary, for instance, to compute the convex subdifferential or the Greenberg–Pierskalla subdifferential for quasi-convex functions. We will analyze these implementations in both spaces considered as Riemannian manifolds and obtain advantageous results when compared to methods implemented in the Euclidean setting.