Del infinito a la incompletitud: la teoría de conjuntos y la crisis de los fundamentos matemáticos

• Daniel Martín Cudero ^[1]
  1. [1] Universidad Rey Juan Carlos

     Universidad Rey Juan Carlos

     Madrid, España

     
• Localización: Pensamiento Matemático, ISSN-e 2174-0410, Vol. 16, Nº. 1, 2026
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • From the infinite to the undecidable: set theory and the foundational crisis in mathematics
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• Resumen
  • español

    En el siglo XIX, Georg Cantor abrió una grieta irreparable en el universo matemático al concebir la existencia de infinitos de diferentes tamaños. Esta intuición revolucionaria, que desafiaba a la tradición aristotélica, dio pie a la teoría de conjuntos, pero también generó una serie de paradojas que obligaron a una redefinición radical de las bases de las matemáticas.

    Este artículo recorre ese proceso, desde la aritmética transfinita de Cantor, hasta los límites computacionales establecidos por Turing y Church, pasando por el programa formalista de Hilbert, las paradojas lógicas y los teoremas de incompletitud de Gödel. A lo largo del camino, se evidencian no solo las tensiones entre intuición y formalismo, sino también el papel del pensamiento humano en el corazón mismo de la verdad matemática. Así, más que un recorrido técnico, es una reflexión filosófica sobre los alcances —y los límites— del pensamiento racional.

  • English

    In the nineteenth century, Georg Cantor opened an irreparable rift in the mathematical universe by conceiving the existence of infinities of different sizes. This revolutionary intuition, which defied the Aristotelian tradition, gave birth to set theory but also provoked a series of paradoxes that demanded a radical redefinition of the foundations of mathematics.

    This article traces that development: from Cantors transfinite arithmetic, through the logical paradoxes, Hilberts formalist programme, and Gödels incompleteness theorems, to the computational limits established by Turing and Church. Along this trajectory, tensions between intuition and formalism become evident, as does the role of human thought at the very heart of mathematical truth. Rather than offering a technical analysis, this essay proposes a philosophical reflection on the scope —and the limits— of rational thought.

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