Densities for Hausdorff measure and rectifiability. Besicovitch’s 1/2-conjecture

• Capdevila Jové, Jaume ^[1]
  1. [1] Universitat Autònoma de Barcelona

     Universitat Autònoma de Barcelona

     Barcelona, España

     
• Localización: Reports@SCM: an electronic journal of the Societat Catalana de Matemàtiques, ISSN-e 2385-4227, Vol. 10, Nº. 1, 2025, págs. 77-78
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • Densitats per la mesura de Hausdorff i rectificabilitat. La conjectura-1/2 de Besicovitch
• Enlaces
  • Texto completo
• Resumen
  • català

    En aquest treball estudiem un dels conceptes centrals de la teoria geomètrica de la mesura, el de conjunt rectificable, i la seva relació amb les densitats per la mesura de Hausdorff. En aquesta interacció hi ha un dels problemes oberts més antics de la teoria: la conjectura-1/2 de Besicovitch. Estudiem una selecció de resultats rellevants, des dels articles pioners de Besicovitch [1] fins a la millora de Preiss i Tišer [7]. Després, presentem una contribució original: generalitzem a Rn un exemple donat originalment per Besicovitch en el pla, demostrant-ne les propietats clau i estenent així una cota inferior de la conjectura a dimensió arbitrària.

  • English

    In this work, we study one of the central concepts of geometric measure theory, that of rectifiable sets, and its relationship with the densities for the Hausdorff measure. Within this interaction lies one of the oldest open problems in the theory: Besicovitch's 1/2-conjecture. We review a selection of relevant results, from Besicovitch’s pioneering papers (1938) to the refinement by Preiss and Tišer (1988). Afterwards, we present an original contribution: we generalize to Rn an example originally given by Besicovitch in the plane, proving its key properties and thus extending a lower bound of the conjecture to arbitrary dimension.