Càlculs de longituds, àrees i volums comptant punts

• Autores: Jaume Llibre
• Localización: Memorias de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona, ISSN 0368-8283, Vol. 62, Núm. 3, 999, 2005, págs. 95-113
• Idioma: catalán
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• Resumen
  • español

    En este artículo estudiamos una clase especial de curvas (las L-curvas), de superficies (los I-polígonos y las L-superficies) y de volúmenes (los I-poliedros) en el espacio euclídeo ℝ. Hay una relación íntima entre la longitud, el área y el volumen de estas figuras y su forma a través de la característica de Euler. Podemos dar fórmulas exactas para el cálculo de su longitud, área y volumen que se reducen a contar puntos.

    Puesto que cualquier curva, superficie o volumen en ℝⁿ se puede aproximar tanto como se quiera por las mencionadas figuras, tendremos fórmulas para calcular, con toda la aproximación que deseemos, la longitud de una curva, el área de una superficie y el volumen de un cuerpo.

    Además, veremos que estas fórmulas se pueden extender para calcular el volumen de una clase de figuras del espacio euclídeo ℝⁿ para todo n natural, llamados los L- y R-hiperpoliedros.

  • English

    In this article we study a special class of curves (the L-curves), of surfaces (the I-polygons and the L-surfaces) and of volumes (the I-polyhedra) in the Euclidean space ℝ³. There is a deep relationship between the length, the area and the volume of these figures and its shape through the Euler characteristic. We can give exact formulas for the computation of their length, area and volume which reduce to counting points.

    As every curve, surface or volume in ℝ³ can be approximated as we want by the mentioned figures, we shall have formulas for computing, with all the approximation that we want, the length of a curve, the area of a surface and the volume of a body.

    Moreover, we shall see that these formulas can be extended for computing the volume of a class of figures of the Euclidean space ℝⁿ for all natural n, namely the L- and R-hyperpolyhedra.

  • català

    En aquest article estudiem una classe especial de corbes (les L-corbes), de superfícies (els I-polígons i les L-superfícies) i de volums (els I-poliedres) en l'espai euclidià ℝ. Hi ha una relació íntima entre la longitud, l'àrea i el volum d'aquestes figures i la seva forma a través de la característica d'Euler. Podem donar fórmules exactes per al càlcul de la seva longitud, àrea i volum que es redueixen a comptar punts.

    Com que qualsevol corba, superfície o volum a ℝⁿ es pot aproximar tant com calgui per les mencionades figures, tindrem fórmules per a calcular, amb tota l'aproximació que desitgem, la longitud d'una corba, l'àrea d'una superfície i el volum d'un cos.

    A més, veurem que aquestes fórmules es poden estendre per a calcular el volum d'una classe de figures de l'espai euclidià ℝⁿ per a tot n natural, anomenades els L- i R-hiperpoliedres.