Resumen de Visualizando soluciones de EDP y Transformadas de Fourier mediante Ondas de Flexión
Marta Gómez Pérez, Mario Lázaro, Vicente Romero García
, Marc Martí Sabaté, Athina Galani
- español
Los conceptos de Ecuaciones Diferenciales Parciales y Transformadas de Fourier se imparten en los cursos de Matemáticas de los primeros años universitarios tanto de ciencias básicas como de ingeniería. Ambos conceptos son de capital importancia para la formación de futuros investigadores, académicos e ingenieros ya que un gran número de fenómenos físicos presentan su modelización teórica mediante estas dos relevantes ramas de las Matemáticas. En este trabajo utilizamos las ondas de flexión unidimensionales en una viga elástica maciza para contextualizar un sistema físico sencillo que nos ayude a comprender, así como a profundizar y visualizar de forma sencilla los entresijos de estas dos partes del currículo de Matemáticas de los primeros cursos universitarios. En particular, las ondas de flexión se rigen por una ecuación de onda que, a diferencia de las ondas electromagnéticas (vectoriales) o acústicas (escalares), es de cuarto orden. Esto tiene profundas implicaciones en la propagación de estas ondas, como la dispersión. Normalmente, en los primeros cursos universitarios se resuelven las ecuaciones del oscilador armónico, es decir, de segundo orden. Mediante tres tutoriales de aprendizaje basado en proyectos, aquí los alumnos se enfrentan a la solución de diversos problemas de contorno, utilizando el método de separación de variables con ecuaciones trascendentales que no son en general analíticas. Los alumnos deben obtener las relaciones utilizando métodos numéricos de tipo Newton o secante. Además, se utilizará una transformada espacial de Fourier para obtener la relación de dispersión de las ondas de flexión. Un sistema experimental consistente en una viga de aluminio excitada por un vibrador será escaneado por un vibrómetro láser para obtener los desplazamientos modales. Los resultados serán comparados con los obtenidos teóricamente para visualizar las soluciones matemáticas.
- English
The concepts of Partial Differential Equations and Fourier Transforms are taught in the Mathematics courses of the first university years of both basic sciences and engineering. Both concepts are of capital importance for the training of future researchers, academics and engineers since a great number of physical phenomena present their theoretical modeling by means of these two relevant branches of Mathematics. In this work we use the one-dimensional flexural waves in a solid elastic beam to contextualize a simple physical system that helps us to understand, as well as to deepen and to visualize in a simple way the intricacies of these two parts of the Mathematics curriculum of the first University courses. In particular, flexural waves are governed by a wave equation, which, unlike electromagnetic (vector) or acoustic (scalar) waves, is of fourth order. This has profound implications for how these waves propagate, such as dispersion. Normally, in the first university courses, the equations of the harmonic oscillator, i.e. of second order, are solved. By means of three project based learning tutorials, here the students are confronted with the solution of various boundary problems, using the method of separation of variables with transcendental equations that are not in general analytical. The students must obtain the ratios using Newton or secant type numerical methods. Moreover, a spatial Fourier transform would be used to obtain the dispersion relation of the flexural waves. An experimental system consisting of a free-free aluminum beam excited by a shaker will be scanned by a laser vibrometer to obtain the modal displacements and compared with those obtained theoretically to visualize the mathematical solutions.
