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On the Geometry of the Hamilton-Jacobi equation
Author
Vaquero Vallina, MiguelAdvisor
León Rodríguez, Manuel deEntity
UAM. Departamento de Matemáticas; Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Date
2015-11-27Subjects
Ecuaciones en derivadas parciales - Tesis doctorales; Sistemas dinámicos diferenciables - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 27-11-2015Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
The classical Hamilton-Jacobi theory is well-understood from the symplectic geometry
viewpoint. By Hamilton-Jacobi theory we mean the relation between certain PDE, the
Hamilton-Jacobi equation, and Hamilton's equations, an ODE. These relations provide
means to integrate the Hamilton's equations (or approximate them through canonical
transformations). The main goal of this work is to extend the Hamilton-Jacobi theory
to di erent geometric frameworks (reduction, Poisson, almost-Poisson, presymplectic...)
and obtain new ways, analytic and numeric, to integrate Hamilton's equations in the
corresponding geometric settings. Furthermore, one of the main points of this work is to
develop a geometric setting where new numerical methods can be built on.
In Chapter 1 we sketch the historical development of the Hamilton-Jacobi theory. We
brie
y introduce some of the connections of the theory with optics and other analytical,
geometrical and dynamical issues. In this chapter, we introduce several viewpoints and
sketch their connections: analytic, geometric and dynamic. We emphasize the role of
lagrangian submanifolds, because lagrangian submanifolds will be the keystone to achieve
our goals.
In Chapter 2 we develop a reduction theory for the Hamilton-Jacobi equation. Reduction
is one of the oldest and most useful techniques in geometric mechanics, so it is
natural to wonder if that theory can be extended to the Hamilton-Jacobi theory, and take
advantage of it. Ge and Marsden attempted to solve that question in [33]. We propose
a new approach, general enough to include the previous ones and to give new insights to
develop more applications.
In Chapter 3, based on symplectic groupoids, we construct a Hamilton-Jacobi theory
for linear Poisson structures (duals of Lie algebroids). This framework is very interesting
in order to integrate analytically and numerically Hamilton's equations, and it solves some
previous questions of the area. We review and complete some previous works by Channell,
Ge, Marsden, Scovel and Weinstein.
In Chapter 4 we present a Hamilton-Jacobi theory for almost-Poisson manifolds. The
main objective is to understand from a purely geometric way the Hamilton-Jacobi theory
for non-holonomic systems in [18, 40, 48].
Chapter 5 includes some extensions of the Hamilton-Jacobi theory, in order to deal
with singular lagrangians. Singular lagrangians are common in classical eld theory, and
so understanding them in the classical mechanics context seems to be a natural step.
Finally, some conclusions and future work are analyzed in the last part of this thesis La teoría clásica de Hamilton-Jacobi es, hoy en día, bien conocida desde el punto de vista
de la geometría simpléctica. A lo largo de esta memoria por teoría de Hamilton-Jacobi
se entiende la relación entre cierta EDP, la ecuación de Hamilton-Jacobi, y las ecuaciones
de Hamilton (EDO). Ello proporciona medios para integrar las ecuaciones de Hamilton, o
aproximarlas a través de transformaciones canónicas. La meta principal de este trabajo es
extender esa teoría a otros contextos (reducción, Poisson, almost-Poisson, presimpléctico...)
y obtener nuevas formas, analíticas y numéricas, de integrar las ecuaciones de Hamilton en
otros marcos geométricos. Más aún, uno de los puntos principales tratados aquí es el desarrollo
de herramientas geométricas para la implementación de nuevos métodos numéricos.
En el Capítulo 1 esbozamos el desarrollo histórico de la teoría de Hamilton-Jacobi.
Introducimos brevemente algunas de las conexiones de la teoría con la óptica y otros temas
analíticos y dinámicos. Enfatizamos el papel de las subvariedades lagrangianas, porque
dichas subvariedades serán la piedra angular para alcanzar nuestros objetivos.
En el Capítulo 2 presentamos una teoría de reducción de la ecuación de Hamilton-
Jacobi. La teoría de reducción es una de las más antiguas y útiles técnicas de la mecánica
geométrica, por lo que es muy natural preguntarse si dicha teoría puede ser combinada
con la teoría de Hamilton-Jacobi y así obtener nuevos resultados basándose en ella. Ge
y Marsden dieron los primeros pasos en esta dirección en [33]. Nosotros proponemos una
nueva aproximación, suficientemente general como para incluir los resultados previos, pero
al mismo tiempo damos una nueva visión y más aplicaciones.
En el Capítulo 3, usando grupoides simplécticos construimos una teoría de Hamilton-
Jacobi para estructuras de Poisson linales (en el dual de un algebroide de Lie). Esta
visión es muy interesante de cara a la integración analítica y numérica de las ecuaciones de
Hamilton y resuelve algunas de las cuestiones del área. Revisamos y completamos trabajos
previos de Channell, Ge, Marsden, Scovel y Weinstein.
En el Capítulo 4 presentamos una teoría de Hamilton-Jacobi para estructuras almost-Poisson
La meta principal es entender desde un punto de vista enteramente geométrico
la teoría de Hamilton-Jacobi para sistemas no-holónomos desarrollada en [18, 40, 48].
El Capítulo 5 incluye algunas extensiones de Hamilton-Jacobi para tratar con lagrangianos
singulares. Los lagrangianos singulares son comunes en la teoría clásica de
campos y por ello entenderlos en el ámbito de la mecánica clásica parece el primer paso a
tomar.
Finalmente, discutimos las conclusiones y una perspectiva de trabajo futuro
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