Dyadic harmonic analysis: Non-doubling and noncommutative aspects
Author
López Sánchez, Luis DanielEntity
UAM. Departamento de Matemáticas; Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Date
2015-05-26Subjects
Análisis armónico - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 26-05-2015Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
La presente tesis contiene resultados sobre análisis armónico diádico en distintos
contextos; proporcionando estimaciones a priori para modelos diádicos de integrales
singulares. La exposición de los resultados se divide en tres partes. En la
primera se caracterizan las medidas de Borel en R para las cuales la transformada
de Hilbert diádica asociada es de tipo débil (1, 1). Sorprendentemente, la clase
de medidas obtenida contiene estrictamente a las medidas diádicamente doblantes
y está contenida estrictamente en la clase de Borel. Se demuestra además que
la clase dual caracteriza el tipo débil (1, 1) del adjunto de la transformada de
Hilbert diádica. La herramienta principal es una nueva descomposición de Calderón-
Zygmund válida para medidas de Borel generales y de interés independiente.
Caracterizaciones análogas del tipo débil (1, 1) para operadores Haar shift
multidimensionales son obtenidas en términos de dos sistemas de Haar generalizados
y no necesariamente cancelativos. Los paraproductos diádicos y sus adjuntos
figuran como casos particulares importantes. Por otro lado, es bien sabido que
operadores de Calderón-Zygmund con núcleos matriciales — incluso aquellos con
buenas propiedades de tamaño y suavidad o cancelación — carecen de estimaciones
en Lp semiconmutativas para p 6= 2. En la segunda parte de la tesis se obtienen
estimaciones de tipo débil (1, 1) de operadores perfectamente diádicos y, en general
para operadores Haar shift, en términos de una descomposición fila/columna de la
función de partida. Se muestra también que operadores de Calderón-Zygmund generales
satisfacen estimaciones de tipo H1 ! L1, que junto con estimaciones de tipo
L1 ! BMO, implican estimaciones fila/columna en espacios Lp semiconmutativos.
El enfoque presentado es aplicable a transformadas de martingala y paraproductos
con símbolos no conmutativos, para los que obtenemos estimaciones análogas. La
tercera parte está dedicada a la generalización semiconmutativa de los resultados
obtenidos en la primera parte. Esto es, a la caracterización del tipo débil (1, 1) de
operadores Haar shift definidos en términos de dos sistemas de Haar generalizados
adaptados a una medida de Borel y con símbolos conmutativos. Así como en el
caso conmutativo, el principal recurso técnico es una versión no conmutativa de la
descomposición de Calderón-Zygmund introducida en la primera parte This thesis is divided into three parts, each presenting results on dyadic harmonic
analysis in different settings. More specifically, it provides a priori estimates of
dyadic and singular integral operators in the non-doubling and semicommutative
frameworks. In Part I we characterize the locally finite Borel measures μ on
R for which the associated dyadic Hilbert transform satisfy L1(μ) ! L1,1(μ)
estimates. Surprisingly, the class of such measures is strictly bigger than the
standard class of dyadically doubling measures and strictly smaller than the whole
Borel class. We further show that a dual class characterizes the weak-type (1, 1)
of the adjoint of the dyadic Hilbert transform. In higher dimensions, we provide a
complete characterization of the weak-type (1, 1) of arbitrary Haar shift operators
—cancellative or not—written in terms of two generalized Haar systems, including
dyadic paraproducts. The main tool used in Part I is a new Calderón-Zygmund
decomposition valid for arbitrary Borel measures which is of independent interest.
On the other hand, it is well known that Calderón-Zygmund operators with
noncommuting kernels may fail to be Lp bounded in semicommutative Lp spaces for
p 6= 2, even for kernels with good size and smoothness properties or having dyadic
cancellation properties. In Part II we obtain weak-type (1, 1) estimates for perfect
dyadic Calderón-Zygmund operators associated to noncommuting kernels in terms
of a row/column decomposition of the input function. Analogous estimates are also
proved for arbitrary Haar shift operators. General Calderón-Zygmund operators
satisfy H1 ! L1 type estimates. In conjunction with L1 ! BMO type estimates,
we get similar row/column Lp estimates. The approach here presented also applies
to martingale transforms and paraproducts with noncommuting symbols for which
we obtain analogous estimates. In Part III we obtain a complete characterization
of the weak-type (1, 1) of commuting Haar shift operators in terms of generalized
Haar systems adapted to a Borel measure μ in the semicommutative setting.
The main technical tool in our method is a noncommutative Calderón-Zygmund
decomposition that generalizes the Calderón-Zygmund decomposition used in the
first part.
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