Inequalities for the lattice point enumerator

Abstract

El propósito del proyecto de tesis es establecer análogos discretos de desigualdades conocidas en el campo de la Geometría Convexa. Por discretización entendemos la obtención de versiones de dichas desigualdades en las cuales se preserva la estructura y características generales de las mismas, pero se sustituyen algunos de sus elementos (por ejemplo, las medidas involucradas, o el espacio ambiente) por otros discretos que jueguen un papel similar. En nuestro caso particular trabajaremos fundamentalmente con retículos, es decir, subgrupos aditivos discretos del espacio euclídeo. Por otro lado, la medida habitual será el enumerador de puntos del retículo (LPE), aunque la cardinalidad también jugará un papel importante.

La metodología empleada para realizar este proceso es en todos los casos similar. Primero comenzamos estudiando el caso continuo, prestando especial atención a las técnicas utilizadas en las demostraciones de las desigualdades. Seguidamente, estudiamos el estado del arte en el campo discreto, es decir, los resultados ya conocidos en el mismo en líneas de investigación que guarden una íntima relación con el problema en cuestión. Finalmente, tratamos de desarrollar técnicas discretas que nos permitan obtener las desigualdades análogas buscadas en el contexto discreto. Como es habitual en matemáticas, el proceso no siempre comienza con un potencial candidado concreto de teorema y termina con su demostración, sino que durante la propia indagación se va estableciendo lo que funciona y lo que no, hasta culminar con el resultado definitivo.

Los resultados obtenidos en el proyecto se enmarcan fundamentalmente en cuatro problemas distinguidos de la Geometría Convexa, y como tal, quedan recogidos en cuatro capítulos respectivos de la tesis, correspondiendo habitualmente cada uno de ellos con uno o varios artículos de investigación donde los resultados han sido (o serán) publicados.

El primer capítulo tiene su origen en las investigaciones previas del grupo de investigación, incluyendo tesis anteriores: la desigualdad de Brunn-Minkowski. En este proyecto, obtenemos una versión discreta mediante el LPE para combinaciones lineales con coeficientes positivos arbitrarios, generalizando así resultados anteriores. Después, demostramos una versión discreta de la misma para p-combinaciones con p positivo, tanto mayor como menor que 1 (punto que supone una transición crucial en las técnicas requeridas para su estudio). Amén de observaciones adicionales, demostramos que estas nuevas desigualdades implican sus análogas continuas.

En el capítulo segundo nos centramos en la desigualdad isoperimétrica, quizá una de las más clásicas en toda la geometría, y obtenemos una versión para el LPE que implica la original. Asimismo, profundizamos en estudios previos para la medida de la cardinalidad y probamos una caracterización del caso de igualdad, obteniendo que los conjuntos extremales son precisamente los cubos reticulares.

En el tercer capítulo ponemos nuestra atención en varias desigualdades de Rogers y Shephard, así como en otras relacionadas. Mediante diversas técnicas, tanto por comparación entre los funcionales volumen y LPE, como por adaptación discreta de las técnicas originales, obtenemos múltiples análogos discretos (a menudo no comparables entre sí) de la desigualdad original de Rogers-Shephard, así como de su desigualdad de tipo proyección-sección. Probamos también un análogo discreto de la desigualdad de Berwald, de la cual se desprenden versiones adicionales de las desigualdades anteriores. Estas nuevas desigualdades, al igual que antes, permiten recuperar las originales.

Finalmente, en el cuarto capítulo estudiamos diversas conjeturas existentes en la línea de los mínimos sucesivos de Minkowski, funcionales de crucial importancia en el campo de la Geometría Discreta. En particular, obtenemos potentes resultados de comparación entre los funcionales volumen y LPE mediante dichos mínimos, demostrando tanto cotas superiores como inferiores que confirman (al menos, en orden de magnitud) las conjeturas planteadas, y que proporcionan además pruebas alternativas de diversas desigualdades clásicas adicionales en el campo.

The purpose of the thesis project is to establish discrete analogues of known inequalities in the field of Convex Geometry. In this context, discretization is the process of obtaining versions of said inequalities in which the structure and general characteristics are preserved, but where some of the elements (e.g., the measures involved, or the ambient space) are substituted by discrete ones which play a similar role. On the one hand, we will mainly work with lattices, that is, discrete and additive subgroups of the Euclidean space. On the other hand, the usual measure will be the lattice point enumerator (LPE), although the cardinality will also play a relevant role.

The methodology employed for this process is similar in all cases. We begin by studying the continuous case, paying special attention to the techniques utilized in the proofs of the inequalities. Next, we study the state of the art in the discrete field, that is, the known results of said field in the lines of research most related to our problem. Finally, we develop discrete techniques that allow us to obtain the desired analogous inequalities in the discrete setting. As usual in Mathematics, the process does not necessarily start with a specifically conjectured theorem and end with its proof, but rather, throughout the delving we determine what does or does not work, until eventually being able to culminate with a result in the desired direction.

The results obtained in this project are circumscribed primarily in four distinct problems in Convex Geometry, and as such, they are collected in four respective chapters of the thesis, each usually corresponding to one or more reseach papers where the results have been (or will be) published.

The first chapter has its origin in the prior research of the group, including previous thesis projects: the Brunn-Minkowski inequality. Here, we obtain a discrete version via the LPE for linear combinations with arbitrary positive coefficients, thus generalizing prior results. Next, we prove a discrete version for p-combinations, where p is a positive parameter that can either be bigger or smaller than 1 (a point in which a crucial transition of the techniques required happens). Apart from some additional observations, we show that these new inequalities imply their corresponding continuous analogues.

In the second chapter we focus on the isoperimetric inequality, perhaps one of the most classical geometric inequalities, and obtain a version for the LPE which implies the original one. Furthermore, we delve deeper into prior studies for the cardinality measure and prove a characterization for the equality case, showing that the extremal sets are precisely the lattice cubes.

In the third chapter we switch over to several inequalities by Rogers and Shephard, as well as other related ones. Using diverse techniques, based both on comparing the volumen with the LPE, as well as on adapting the original ones, we obtain multiple discrete analogues (often not comparable to each other) of the original Rogers-Shephard inequality, as well as of their projection-section type inequality. We also prove a discrete analogue of Berwald’s inequality, from which additional versions of the previous inequalities are derived. These new discrete inequalities, as before, allow us to recover the original ones.

Finally, in the fourth chapter we study several existing conjectures related to Minkowski’s successive minima, which are functionals of crucial importance in the field of Discrete Geometry. In particular, we obtain powerful comparison results between the volume and LPE functionals via the successive minima, proving both upper and lower bounds that confirm (at least, in order of magnitude) said conjectures, and which moreover provide alternative proofs of several classical inequalities in the field.