New Insights into the Study of Flag Codes

Abstract

En esta tesis profundizamos en el estudio de los códigos flag. Un flag es una sucesión de subespacios encajados de un espacio vectorial finitodimensional sobre un cuerpo también finito y un código flag es una colección no vacía de flags. Estos códigos fueron introducidos en 2018 por Liebhold et al. como una generalización de los códigos de subespacio, ampliamente estudiados en la última década. Cada código flag define de forma natural una familia de códigos de subespacio: sus códigos proyectados. A lo largo de esta tesis, investigamos la relación existente entre los códigos flag y sus respectivos códigos proyectados, a través de problemas de diferente naturaleza y utilizando herramientas provenientes de distintas áreas de las matemáticas. A continuación, exponemos brevemente el contenido de cada uno de los nueve capítulos que constituyen esta tesis. En primer lugar, abordamos el estudio de los códigos flag de distancia óptima. Estos códigos presentan gran interés puesto que detectan y corrigen el máximo número de errores y/o borrados posibles. En el Capítulo 1 caracterizamos estos códigos en términos de sus códigos proyectados. Además, bajo ciertas condiciones, concluimos que los códigos flag de distancia óptima alcanzan también el máximo cardinal posible cuando uno de sus códigos proyectados es un código spread. Los Capítulos 1 y 2 están dedicados al estudio y la construcción sistemática de esta familia especial de códigos flag (los de distancia óptima con un spread como proyectado) para cualquier elección de los parámetros. Por otra parte, en los Capítulos 3 y 6 utilizamos la acción transitiva del grupo general lineal sobre la variedad de flags y determinamos subgrupos adecuados para obtener construcciones, ahora orbitales, de códigos flag de distancia óptima con un spread entre sus proyectados. El Capítulo 4, por su parte, es un estudio general de propiedades de códigos flag orbitales bajo la acción natural del grupo multiplicativo de un cuerpo finito: los códigos flag cíclicos. Para ello, resulta crucial conocer el llamado mejor amigo del flag generador. En el mismo trabajo, estudiamos los “códigos flag de Galois”, en los que el flag generador está dado por una torre de subcuerpos encajados. En este caso, obtenemos construcciones orbitales cíclicas con spreads en todos los códigos proyectados. Además, probamos que las posibilidades para la distancia de un código flag de Galois son muy reducidas y determinamos qué subgrupos permiten alcanzar cada una de ellas. Este estudio continúa en el Capítulo 7, donde consideramos los llamados códigos flag de Galois generalizados: aquellos en los que el flag generador contiene cuerpos encajados, pero no todos sus subespacios son cuerpos. En este caso, mostramos que la presencia de cuerpos en el flag generador tampoco es compatible con todos los valores de la distancia de los códigos orbitales que este genera. Sin embargo, presentamos construcciones de estos códigos que nos permiten afirmar que, al contrario de lo que ocurre con los códigos de Galois, no todas las distancias compatibles con la estructura de cuerpos son realmente alcanzables. En el Capítulo 5 hacemos un estudio pormenorizado de los códigos flag consistentes: una familia de códigos flag cuyos parámetros quedan perfectamente determinados por los de sus códigos proyectados. Además, probamos que, bajo la condición de consistencia, ciertas propiedades estructurales de un código flag son equivalentes a las análogas para sus códigos proyectados y presentamos varias familias de ejemplos. Por último, la condición de consistencia también resulta ser de gran utilidad a la hora de decodificar códigos flag y proporcionamos un algoritmo de decodificación en el canal de borrado. Los Capítulos 8 y 9 están dedicados al estudio del parámetro distancia de los códigos flag. En el primero de ellos, introducimos el concepto de vector distancia y determinamos los valores de la distancia entre flags que pueden ser obtenidos a través de vectores distancia satisfaciendo determinadas condiciones. Este estudio se relaciona, a continuación, con el número de subespacios que dos flags distintos pueden compartir sin comprometer el valor de la distancia mínima de un código flag. Como consecuencia, obtenemos nuevas cotas para el cardinal de códigos flag para cualquier elección de los parámetros. Por último, en el Capítulo 9, interpretamos la distancia entre flags a través de estructuras combinatorias que construimos ad hoc para el estudio de nuestro problema. Más concretamente, asociamos un diagrama de Ferrers adecuado a la variedad de flags completos y, a través de él, identificamos condiciones sobre la distancia entre flags con ciertos elementos combinatorios provenientes de la Teoría de Particiones. Este nuevo diccionario nos permite obtener nuevos resultados que relacionan los parámetros de un código flag con los de sus proyectados, así como reinterpretar la caracterización de códigos flag de distancia óptima propuesta en el primer capítulo en términos de objetos combinatorios.