Effective computation of invariants of finite topological spaces

Abstract

Hasta el momento, los métodos conocidos para el cálculo de invariantes de espacios topológicos finitos eran aplicables solamente a los posets de caras de complejos simpliciales o de CW-complejos regulares. En este trabajo hemos desarrollado versiones constructivas de algunos resultados teóricos de diferentes autores acerca de espacios finitos, produciendo en particular nuevos algoritmos para el cálculo explícito de algunos complejos de cadenas asociados a espacios finitos h-regulares y sus correspondientes generadores. Hasta donde sabemos, nuestro programa es el único software capaz de calcular grupos de homología de espacios topológicos finitos trabajando directamente sobre los posets. Hemos mejorado nuestros algoritmos sobre espacios finitos h-regulares mediante el uso de campos de vectores discretos, produciendo un nuevo algoritmo para construir dichos campos discretos definidos directamente sobre el poset, además de crear un proceso de h-regularización de espacios finitos permitiendo así ampliar la familia de espacios finitos h-regulares conocidos en la literatura. También hemos presentado una interfaz entre los sistemas de álgebra computacional SageMath y Kenzo. Nuestro trabajo ha permitido que ambos sistemas colaboren mutuamente en algunos cálculos que no pueden ser hechos de manera independiente por dichos programas. Más aún, hemos creado un módulo en SageMath implementando espacios topológicos finitos y algunos conceptos relacionados. Finalmente, hemos considerado algunas estrategias para estudiar diferentes alternativas para calcular campos de vectores discretos de mayor longitud sobre espacios finitos, haciendo uso de algunas técnicas de aprendizaje automático para obtener campos de vectores discretos de la mayor longitud posible. (Texto tomado de la fuente).

Up to now, the known methods for computing invariants of finite topological spaces were applicable only for face posets of simplicial complexes or regular CW-complexes. In this work, we have made constructive some theoretical results on finite topological spaces by different authors, producing in particular new algorithms for computing in an explicit way some chain complexes associated with h-regular finite topological spaces and their corresponding generators. Up to our knowledge, our new program is the only software able to compute homology groups of finite topological spaces working directly on the posets. We have improved our algorithms on h-regular spaces by using discrete vector fields, producing a new algorithm for constructing a discrete vector field defined directly on the poset; moreover, we have created a process of h-regularization of finite spaces, allowing to expand the family of h-regular finite spaces known in the literature. We have presented an interface between the computer algebra systems SageMath and Kenzo. Our work has allowed both systems to collaborate in some computations which can not be done independently in any of the programs. Moreover, we have created a module implementing finite topological spaces and related concepts in SageMath. Finally, we have considered some strategies trying to study alternatives to compute longer discrete vector fields on finite spaces, considering some machine learning techniques to obtain discrete vector fields as big as possible.