On Holditch's theorem and related kinematics
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Publication date
2019
Reading date
22-11-2019
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Abstract
El teorema de Holditch es un resultado clásico sobre áreas de curvas planas generadas por el movimiento de segmentos. Esta construcción está estrechamente relacionada con otros tipos de curvas como, por ejemplo, curvas paralelas, curvas de anchura constante o curvas de bicicletas. Se compilan las propiedades básicas de este tipo de curvas y se da una revisión histórica sobre el teorema de Holditch y teoremas relacionados de cinemática. Primero, la situación plana de Holditch se define rigurosamente y se consideran ciertos problemas como la existencia de dicha construcción o el modo de evitar movimientos retrógrados en el segmento que se va moviendo. En el enunciado del teorema de Holditch aparece el área de una elipse oculta. En este trabajo se utiliza una aproximación poligonal a dicho teorema para mostrar geométricamente de dónde proviene esta elipse. También es posible dar generalizaciones inmediatas de este teorema y de otros relacionados con la cinemática en otros contextos y situaciones. Así, en la segunda parte, se da una introducción a la geometría no euclidiana y se presenta la extensión de los resultados mencionados a superficies de curvatura constante. Además, se encuentran curvas cerradas ocultas en la superficie de curvatura constante relacionadas con el enunciado generalizado de Holditch. Finalmente, se obtiene una nueva extensión natural del teorema de Holditch para curvas espaciales, lo cual nos lleva al concepto de superficie de Holditch.