Boundedness of fractional elliptic and parabolic operators on Lebesgue and Hölder spaces. A semigroup approach
Author
León Contreras, Marta deAdvisor
Torrea Hernández, José LuisEntity
UAM. Departamento de MatemáticasDate
2019-09-13Subjects
Análisis matemático - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha e lectura: 13-09-2019Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
The connecting thread of this thesis is the semigroup language, a unifying and general
technique to formulate and analyze fundamental properties of fractional operators. We
have used this approach to deal with di erent problems. The rst chapter is devoted to the
discrete fractional derivatives. We have de ned them via semigroups and we have proved that
they approximate the continuous fractional derivatives. We have also obtained comparison
and maximum principles and regularity results for the fractional powers. These results
also allow us to prove the pointwise coincidence of the Marchaud and Gr unwald-Letnikov
derivatives. On the second chapter we consider Schr odinger operators on Rn with n 3, that
is, L = �� + V , where V is a nonnegative potential satisfying a reverse H older inequality.
We have found the appropriated pointwise de nition of Lipschitz (or H older) classes in
the Schr odinger setting for 0 < < 2. Secondly, we have de ned, for every > 0, new
Lipschitz spaces adapted to L by means of the heat and Poisson semigroups. We prove that
in fact these spaces do coincide with the ones de ned pointwise. Moreover, we use these
new de nitions of Lipschitz spaces via semigroups to get regularity results of fractional
powers of Schr odinger operators. On the third chapter we deal with the Hermite operator,
a Schr odinger operator for which are known a lot of interesting properties. These properties
have allowed us to get better results in this case than for general Schr odinger operators. We
have got a complete characterization of Lipschitz spaces adapted to the Hermite operator
(also in the parabolic case) and we have obtained regularity results for the Hermite fractional
operators in those spaces. Finally, the last chapter is devoted to the study of the classical
solvability of the parabolic Bessel di erential equation and the boundedness on (mixed)
weighted Lp spaces of the associated Riesz transforms. El hilo conductor de esta tesis es el lenguaje de semigrupos, una t ecnica general y uni -
cadora para formular y analizar propiedades fundamentales de operadores fraccionarios.
Hemos usado este enfoque para tratar con diferentes problemas. El primer cap tulo est a
dedicado a las derivadas fraccionarias discretas. Las hemos de nido por medio de semigrupos
y hemos visto que aproximan a las derivadas fraccionarias continuas. Tambi en hemos
obtenido principios de comparaci on y del m aximo y resultados de regularidad para las potencias
fraccionarias. Estos resultados nos permiten probar la coincidencia puntual de las
derivadas de Marchaud y de Gr unwald-Letnikov. En el segundo cap tulo consideramos operadores
de Schr odinger en Rn con n 3, esto es, L = � +V , donde V es un potencial no
negativo que satisface una desigualdad de H older inversa. Hemos encontrado la de nici on
puntual apropiada de los espacios de Lipschitz (o H older) en el contexto de Schr odinger para
0 < < 2. En segundo lugar, hemos de nido para cualquier > 0, nuevos espacios Lipschitz
adaptados a L por medio de los semigrupos del calor y del Poisson. Hemos probado
que de hecho estos espacios coinciden con los de nidos puntualmente. Adem as, usamos estas
nuevas de niciones de espacios Lipschitz a trav es de semigrupos para obtener resultados
de regularidad para potencias fraccionarias de los operadores de Schr odinger. En el tercer
cap tulo tratamos con el operador de Hermite, un operador de Schr odinger del que se conocen
muchas propiedades interesantes. Estas propiedades nos han permitido obtener mejores
resultados en este caso que para operadores de Schr odinger generales. Hemos obtenido
una caracterizaci on completa de los espacios Lipschitz adaptados al operador de Hermite
(tambi en en el caso parab olico) y hemos obtenido resultados de regularidad para operadores
fraccionarios de Hermite en estos espacios. Finalmente, el ultimo capitulo se dedica al estudio
de la existencia de soluciones cl asicas de la ecuaci on de Bessel parab olica y la acotaci on
de las transformadas de Riesz en espacios Lp (mixtos) y con pesos.
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