Publication: Secuencia genética y dinámica de excitaciones no lineales de ADN
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Publication date
2007-04
Defense date
2007-06-29
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La memoria se divide en tres partes: la que se refiere al modelo de
sine-Gordon continuo; la segunda, relativa al modelo de sine-Gordon discreto; y
la última, que trata el modelo de Peyrard-Bishop aplicado al ADN.
La primera parte engloba los capítulos 2 y 3. El segundo capítulo es puramente
introductorio, y trata del modelo de sine-Gordon homogéneo y continuo. En él
se hace un repaso de la ecuación de sine-Gordon en coordenadas características
en la geometría diferencial y se introduce la transformación de Bäcklund como
método para obtener soluciones nuevas a partir otras conocidas. Posteriormente
se introduce la ecuación de sine-Gordon en coordenadas estándar a partir de un
Hamiltoniano, desde el punto de vista de la mecánica analítica, y se menciona la
transformada espectral inversa como m´etodo para obtener soluciones de la ecuación. También se da una idea de lo que es un solitón, y de en qué se diferencia de
las ondas solitarias, así como su relación con sistemas completamente integrables.
Para ello se citan algunas diferencias entre la ecuación del modelo de sine-Gordon,
que posee soluciones de tipo solitón, y el modelo Á4, que no posee solitones pero
sí soluciones de tipo onda solitaria, aunque ambos son modelos de Klein-Gordon
no lineales. Finalmente, se obtienen las principales soluciones de la ecuación de
sine-Gordon que se utilizarán en la memoria: kinks, breathers y fonones.
En el tercer capítulo se introducen perturbaciones inhomogéneas en modelos
de Klein-Gordon no lineales, como sine-Gordon y Á4. Posteriormente se muestra
la técnica de coordenadas colectivas aplicada a la dinámica del centro del kink,
se explican resultados anteriores para el caso particular de una inhomogeneidad de tipo coseno y se detalla la obtención del potencial efectivo. Posteriormente se
introduce la anchura del kink como segunda coordenada colectiva y se analiza el
caso no perturbado. En la última sección se describen los resultados originales
de esta tesis (Cuenda y Sánchez 2005) que dan cuenta de la importancia de la
anchura del kink en el análisis de la perturbación inhomogénea de tipo coseno y
su influencia en el fenómeno de competición de escalas.
La segunda parte consta de los capítulos 4, 5 y 6. El capítulo cuarto es introductorio.
Comienza con la introducción del modelo de Frenkel-Kontorova que,
aunque no es más que el modelo de sine-Gordon discreto, tiene gran valor por
ser el redescubrimiento de la ecuación en el ámbito de la física del estado sólido
a finales de los años 20. Posteriormente se introduce el sistema de la cadena de
péndulos acoplados, también descritos por la ecuación de sine-Gordon, el significado
de la discretización efectiva en el modelo en términos físicos, y los efectos
que ésta produce al comparar con resultados del modelo continuo. Posteriormente
se introduce el modelo de Englader del ADN como analogía al modelo de péndulos
descrito anteriormente.
El capítulo quinto comienza introduciendo el modelo de Salerno del ADN, en
el que por primera vez se introduce la secuencia genómica para la búsqueda de
elementos biológicamente funcionales en ésta a partir de la dinámica de kinks. Se
realiza una revisión muy exhaustiva de los trabajos de Salerno en promotores en
el fago T7 (Salerno 1991; Salerno 1992), en los que se relaciona positivamente la
dinámica de kinks y los promotores de una secuencia de ADN. También se realiza
una revisión parecida con un trabajo posterior de dinámica de kinks en secuencias
aperiódicas (Domínguez-Adame et al. 1995), que da la posibilidad de relacionar
el contenido de información de una secuencia con ciertos aspectos de la dinámica
de kinks. Posteriormente se introduce el potencial efectivo para kinks en modelos
discretos, tal y como fue definido por Salerno y Kivshar (1994), y se discute
su utilización por parte de los autores de los trabajos anteriores para explicar sus
resultados. Posteriormente, como trabajo original de la tesis, se analiza el significado
del potencial efectivo, se propone una nueva expresión para él y se realiza
un análisis comparativo entre la dinámica de kinks en secuencias inhomogéneas y
la dinámica de una partícula que se mueve de acuerdo al potencial efectivo.
En el capítulo sexto se describen en detalle varios trabajos originales de la
tesis en los que se revisan los resultados obtenidos por los autores mencionados
en el capítulo anterior. En la primera parte del capítulo se explican los resultados
obtenidos por Dom´ınguez-Adame et al. (1995), basándonos en la importancia
que tiene la forma del potencial efectivo alrededor de la posición inicial del kink,
así como su estructura general de picos y pozos, y se repite un análisis similar al realizado por los autores, utilizando en este caso secuencias de ADN en lugar
de secuencias periódicas (Cuenda y Sánchez 2004b). A continuación se hace un
estudio de la influencia del ruido en los resultados obtenidos, tanto de ruido térmico,
con simulaciones de dinámica Langevin, como de condiciones iniciales con
ruido y dinámica determinista (Cuenda y Sánchez 2004a). También se explican
los resultados de Salerno (Salerno 1991; Salerno 1992) en términos de las secuencias
que utiliza y se comparan los resultados que se obtienen con las secuencias
“buenas”. Finalmente, se hace un estudio de todos los promotores del fago T7 en
función del potencial efectivo a raíz de un estudio estadísitico de la dinámica de
kinks (Lennholm y H¨ornquist 2003) y se discute la posibilidad de un potencial
efectivo para breathers, como el propuesto por Bashford (2006).
El séptimo capítulo es la tercera parte de esta memoria. En él se introduce
el modelo de Peyrard-Bishop del ADN y los tipos de excitaciones que se han
estudiado en él, las de tipo breather y las paredes de dominio. Posteriormente se
describe un resultado original de esta tesis (Cuenda y Sánchez 2006) en el que
se realiza un estudio analítico de las paredes de dominio en sistemas finitos y su
estabilidad, tanto en el límite continuo como en el discreto, y que debe ser el punto
de partida de una posible generalización del concepto de potencial efectivo.
Finalmente, en las conclusiones resumo las ideas principales de esta tesis y
expongo las líneas de investigación que han quedado abiertas o en las que estamos
trabajando. Además, esta tesis incluye dos apéndices: el apéndice A es un
estudio realizado durante una estancia en la Universidad de Sevilla bajo la dirección de Niurka R. Quintero sobre un tipo de solución de sine-Gordon formada por
tres solitones a partir de la transformación de Bäcklund, su comparación con la
expresión derivada mediante la transformada espectral inversa y su significado; y
en el apéndice B se encuentra toda la información biológicamente relevante que
puede ser necesaria para un mejor entendimiento de la segunda parte de la memoria,
y que forma parte del trabajo de campo que ha sido necesario realizar para una
mejor comprensión del problema del modelado del ADN.
Description
Keywords
Biomatemática, Genética, Ecuaciones diferenciales, ADN, Secuencia genética